[51Nod] 1218 最长递增子序列 V2

本文深入探讨了最长递增子序列(LIS)的高效算法实现,通过定义f[i]为以ai结尾的LIS长度,g[i]为以ai开头的LIS长度,提出了一种判断元素是否属于LIS的创新方法。文章提供了详细的C++代码实现,包括使用线段树进行区间更新和查询的技巧,以及如何从f[i]和g[i]中筛选出确定的LIS元素。

如何判断一个元素是否一定在LIS中?设f[i]为以ai结尾的LIS长度,g[i]为以ai开头的LIS长度,若f[i]+g[i]-1==总LIS,那么i就一定在LIS中出现

显然只出现一次的元素一定是必选,剩下的就是可选了。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>

using namespace std;

const int MAXN=500005;

vector<int> vec[MAXN],A,B;

int tmp[MAXN],mx[MAXN];
int a[MAXN],f[MAXN],g[MAXN],n;
int b[MAXN];
int t[MAXN],t2[MAXN];
inline void upmax(int &x,int y){x=max(x,y);}
void update(int x,int w){for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)upmax(t[i],w);}
int query(int x){int _=0;for(int i=x;i;i-=i&-i)upmax(_,t[i]);return _;}
void update2(int x,int w){for(int i=n-x+1;i<=n;i+=i&-i)upmax(t2[i],w);}
int query2(int x){int _=0;for(int i=n-x+1;i;i-=i&-i)upmax(_,t2[i]);return _;}
int main(){
  n=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)tmp[i]=a[i]=rd();
  sort(tmp+1,tmp+1+n);
  int tot=unique(tmp+1,tmp+1+n)-1-tmp;
  for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(tmp+1,tmp+1+tot,a[i])-tmp;
  int mxf=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i]=query(a[i]-1)+1;
    update(a[i],f[i]);
    upmax(mxf,f[i]);
  }
  for(int i=n;i>=1;i--){
    g[i]=query2(a[i]+1)+1;
    update2(a[i],g[i]);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(f[i]+g[i]!=mxf+1)continue;
    vec[f[i]].push_back(i);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int s=vec[i].size();
    if(s==0)continue;
    if(s==1){A.push_back(vec[i][0]);continue;}
    for(int j=0;j<s;j++)B.push_back(vec[i][j]);
  }
  sort(A.begin(),A.end());
  sort(B.begin(),B.end());
  vector<int>::iterator it;
  printf("A:");
  for(it=B.begin();it!=B.end();it++)printf("%d ",*it);
  putchar('\n');
  printf("B:");
  for(it=A.begin();it!=A.end();it++)printf("%d ",*it);


}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ghostcai/p/9643278.html

题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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