【洛谷 P2726】 [SHOI2005]树的双中心（树的重心）

最新推荐文章于 2022-11-29 18:24:34 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Qihoo360/p/9871320.html

本文探讨了在树形结构中寻找两个点以最小化所有点到这两点距离之和的问题。通过枚举断边并利用带权树的重心概念，提出了一种O(NH)的优化算法，其中H为树的高度。文章详细介绍了如何预处理子树大小，并在断边时自下而上更新祖先节点的子树大小，以高效地找到最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先考虑一个\(O(N^2)\)做法。

设选的两个点为\(x,y\)，则一定可以将树分成两个集合\(A,B\)，使得\(A\)集合所有点都去\(x\)，\(B\)集合所有点都去\(y\)，而这两个集合的分界点就是树上的一条边。于是考虑枚举断哪条边，然后对两边分别跑一遍带权树的重心，统计答案加起来取最小值就行了。

现在进行优化，求树的重心的方法可以参考医院设置。
以\(1\)为根建树，\(f[u]\)表示所有点到\(u\)的总距离。（人数乘以距离）

转移方程是：
\[f[v]=f[u]+size[1]-size[v]-size[v]\]
可以发现，只有当\(size[v]*2>size[1]\)时\(v\)比\(u\)更优，而且满足\(size[v]*2>size[1]\)的\(v\)数量\(<=1\)。

所以我们可以预处理出每个点的子树大小最大的儿子和次大的儿子，每次断边时自下而上修改其所有祖先的\(size\)大小，这时最大儿子可能变小，进而被次大儿子替代，直接判断一下然后走此时的大儿子就行。易得时间复杂度为\(O(NH)\)，这也就是题中提到树的高度不超过\(100\)的原因吧。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define INF 2147483647
using namespace std;
#define Open(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);
#define Close fclose(stdin);fclose(stdout);
int s, w; char ch;
inline int read(){
    s = 0; ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar(); 
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){ s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return s;
}
const int MAXN = 100010;
struct Edge{
    int next, to;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num, a[MAXN], size[MAXN], f[MAXN], val[MAXN], dep[MAXN], son[MAXN], Sson[MAXN], A, B, n, root, ans = INF, cut;
inline void Add(int from, int to){
    e[++num].to = to; e[num].next = head[from]; head[from] = num;
    e[++num].to = from; e[num].next = head[to]; head[to] = num;
}
int getsize(int u, int fa){
    size[u] = a[u]; f[u] = fa; dep[u] = dep[fa] + 1;
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
        if(e[i].to != fa){
            getsize(e[i].to, u);
            size[u] += size[e[i].to];
            val[u] += val[e[i].to] + size[e[i].to];
            if(size[e[i].to] > size[son[u]]){
              Sson[u] = son[u];
              son[u] = e[i].to;
            }
            else if(size[e[i].to] > size[Sson[u]])
              Sson[u] = e[i].to;
        }
}
void getans(int u, int now, int all, int &res){
    res = min(res, now);
    int v = son[u];
    if(v == cut || size[Sson[u]] > size[son[u]]) v = Sson[u];   //如果size变化后次大大于最大
    if(!v) return;
    if(size[v] * 2 > all) getans(v, now + all - size[v] - size[v], all, res);  //如果size[v]*2<=all就没有继续往下走的意义了，因为此时u一定最优
}
int solve(int u){
    for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
       if(e[i].to != f[u]){
         cut = e[i].to;  //断边
         A = B = INF;
         for(int now = u; now; now = f[now]) size[now] -= size[e[i].to];  //自下而上修改其父亲size
         getans(1, val[1] - val[e[i].to] - dep[e[i].to] * size[e[i].to], size[1], A);
         getans(e[i].to, val[e[i].to], size[e[i].to], B);    //求两个集合的答案
         ans = min(ans, A + B);
         for(int now = u; now; now = f[now]) size[now] += size[e[i].to];   //回溯
         solve(e[i].to);
       }
}
int main(){
    //Open("practice");
    n = read(); dep[0] = -1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) Add(read(), read());
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    getsize(1, 0);
    solve(1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Qihoo360/p/9871320.html