P2495 [SDOI2011]消耗战

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原文链接：http://www.cnblogs.com/dreagonm/p/10748892.html

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#ui

本文深入探讨了虚树上的动态规划(DP)算法，详细解释了如何通过构造虚树来解决特定类型的路径问题，特别是在涉及大量查询的关键点信息场景下。文章提供了具体的实现步骤和代码示例，包括虚树构建过程、LCA查询、以及DP状态转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路

虚树上DP

虚树相当于一颗包含了所有询问的关键点信息的树，包含的所有点只有询问点和它们的LCA，所以点数是\(2k\)级别的，这样的话复杂度就是\(O(\sum k)\)，复杂度就对了
虚树重点就是虚树的构造
用栈可以进行虚树的构造
过程如下

设现在加入点u
如果栈为空或只有一个元素，直接加入即可（延长当前链）
如果LCA(u,S[top])=S[top]，把u加入即可（延长树链）
否则证明u和S中的树链在lca的两个子树中，在dfn[lca]<=dfn[S[top-1]]的条件下，从S[top-1]向S[top]连边，然后弹出
如果最后lca=S[top]，证明这颗子树构造完成，加入u即可
否则证明lca在S[top-1]和S[top]之间，从lca向S[top]连边，然后pop出S[top]，lca入栈
最后把u加入即可

这题建出虚树之后就直接DP就好了

如果u不是关键点
\(DP[u]=\sum_{v\in son[u]} min(minx[v],DP[v])\)
如果u是关键点
\(DP[u]=minx[u]\)

minx[u]是断开1到u路径的最小代价

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 250010;
int n,m;
struct Graph{
    vector<int> to[MAXN],wx[MAXN];
    void addedge(int ui,int vi,int wi){
        to[ui].push_back(vi);
        wx[ui].push_back(wi);
    }
}G1,G2;
int S[MAXN],topx,dfn[MAXN],dfs_clock,fa[MAXN][20],dep[MAXN],minx[MAXN],mark[MAXN];
void dfs1(int u,int f){
    dep[u]=dep[f]+1;
    dfn[u]=++dfs_clock;
    fa[u][0]=f;
    for(int i=1;i<20;i++)
        fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int i=0;i<G1.to[u].size();i++){
        int vi=G1.to[u][i];
        if(vi==f)
            continue;
        minx[vi]=min(G1.wx[u][i],minx[u]);
        dfs1(vi,u);
    }
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y])
        swap(x,y);
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
            x=fa[x][i];
    if(x==y)
        return x;
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
bool cmp(int a,int b){
    return dfn[a]<dfn[b];
}
void insert(int u){
    if(topx<=1){
        S[++topx]=u;
        return;
    }
    int Lca=lca(u,S[topx]);
    if(Lca==S[topx]){
        S[++topx]=u;
        return;
    }
    while(topx>1&&dfn[Lca]<=dfn[S[topx-1]]){
        G2.addedge(S[topx-1],S[topx],0);
        topx--;
    }
    if(Lca!=S[topx]){
        G2.addedge(Lca,S[topx],0);
        S[topx]=Lca;
    }
    S[++topx]=u;
}
int dfs2(int u){
    int ans=0;
    for(int i=0;i<G2.to[u].size();i++)
        ans+=min(minx[G2.to[u][i]],dfs2(G2.to[u][i]));        
    G2.to[u].clear();
    if(mark[u]){
        mark[u]=false;
        return minx[u];
    }
    else
        return ans;
}
vector<int> im;
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c);
        G1.addedge(a,b,c);
        G1.addedge(b,a,c);
    }
    minx[1]=0x3f3f3f3f;
    dfs1(1,0);
    scanf("%lld",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        im.clear();
        int x,k;
        scanf("%lld",&k);
        for(int j=1;j<=k;j++){
            scanf("%lld",&x);
            im.push_back(x);
            mark[x]=true;
        }
        sort(im.begin(),im.end(),cmp);
        insert(1);
        for(int i=0;i<im.size();i++)
            insert(im[i]);
        while(topx>0){
            G2.addedge(S[topx-1],S[topx],0);
            topx--;
        }
        printf("%lld\n",dfs2(1));
    }
    return 0;
}

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