《几何与代数导引》习题1.36.1

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
\begin{equation}
\label{eq:1}
\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{2}
\end{equation}

解：设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
\begin{equation}
\label{eq:3}
-x_0+y_0=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
\label{eq:4}
2x_0-y_0+2z_0=0
\end{equation}
因此公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.设公垂线的方程为
\begin{equation}
\label{eq:5}
\frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
\end{equation}
方程5与方程1联立有解，可得交点为$(a+c,b+c,0)$.其中$a+b+2c=1$.方程5与方
程2联立有解，可得交点为$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.其中$2b+2c-a=3$.
\begin{equation}
\label{eq:6}
(a+c,b+c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})=(\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
\end{equation}
可知
\begin{equation}
\label{eq:7}
(\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})\cdot (2,-1,2)=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:8}
a-2b-c+3=0
\end{equation}
解方程组
\begin{equation}
\label{eq:9}
\begin{cases}
  a+b+2c=1\\
-a+2b+2c=3\\
a-2b-c=-3\\
\end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
\label{eq:10}
\begin{cases}
  a=\frac{-1}{3}\\
b=\frac{4}{3}\\
c=0
\end{cases}
\end{equation}
因此公垂线方程为
\begin{equation}
\label{eq:11}
x+\frac{1}{3}=y-\frac{4}{3}=-2z
\end{equation}

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