LOJ#2537. 「PKUWC2018」Minimax

Description

小 C 有一棵 n 个结点的有根树，根是 1 号结点，且每个结点最多有两个子结点。

定义结点 x 的权值为：

1.若 x 没有子结点，那么它的权值会在输入里给出，保证这类点中每个结点的权值互不相同。

2.若 x 有子结点，那么它的权值有 px的概率是它的子结点的权值的最大值，有 1?px的概率是它的子结点的权值的最小值。

现在小 C 想知道，假设 1 号结点的权值有 m 种可能性，权值第 i 小的可能性的权值是 Vi，它的概率为 Di，求：

 

 

Input

输入

第一行一个正整数 n；

第二行 n 个整数，第 i个整数表示第 i 个结点的父亲的编号，其中第 1 个结点的父亲为 0；

第三行 n 个整数，若第 i 个结点没有子结点，则第 i 个数为它的权值，否则第 i 个数为 pi×10000，保证 pi×10000是个正整数。

0<pi<1,1<=N<=3*10^5,1<wi<=10^9

 

Output

输出答案

 

Sample Input

3
0 1 1
5000 1 2

Sample Output

748683266

---

首先我们考虑一个$n^2$的dp

设$f(i,j)$为i这个点取到j这个值的概率（叶子的权值离散化了）

$l$为左儿子，$r$为右儿子

当$j$来自$l$时

则$f(i,j)=f(l,j)\left ( \sum_{k=j}^{m}f(r,k)p+\sum_{k=1}^{j}f(r,k)(1-p) \right )$

来自r时同理

那么我们考虑优化这个东西，

我们发现上面的式子相当于从$l$继承过来后，再乘上一个类似前缀和的东西

再加上每个叶子权值都不同的暗示，可以想到线段树合并//啊？！怎么想到的？

那么就在合并的时候统计出另一颗树上小于这个区间的和，大于这个区间的和，再给这个区间统一乘上就好了

如果这个区间内只有一颗树的值，就要变成区间乘，需要打标记

具体的实现看代码吧2333

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define N 300005
 4 #define mod 998244353
 5 #define inv 796898467
 6 #define ll long long
 7 using namespace std;
 8 int n,m,son[N][2],top;
 9 ll b[N],w[N];
10 ll s[N*50],tag[N*50],ls[N*50],rs[N*50],p;
11 int newtree(int l,int r,int x){
12     int node=++top;
13     s[node]=tag[node]=1;
14     if(l==r)return node;
15     int mid=(l+r)>>1;
16     if(x<=mid)ls[node]=newtree(l,mid,x);
17     else rs[node]=newtree(mid+1,r,x);
18     return node;
19 }
20 void mul(int x,ll v){s[x]=(s[x]*v)%mod;tag[x]=(tag[x]*v)%mod;}
21 void pushdown(int x){if(tag[x]==1)return;mul(ls[x],tag[x]);mul(rs[x],tag[x]);tag[x]=1;}
22 int merge(int x,int y,ll sx,ll sy){
23     if(!x){mul(y,sx);return y;}
24     if(!y){mul(x,sy);return x;}
25     pushdown(x),pushdown(y);
26     ll x0=s[ls[x]],x1=s[rs[x]],y0=s[ls[y]],y1=s[rs[y]];
27     ls[x]=merge(ls[x],ls[y],(sx+(1+mod-p)*x1)%mod,(sy+(1+mod-p)*y1)%mod);
28     rs[x]=merge(rs[x],rs[y],(sx+p*x0)%mod,(sy+p*y0)%mod);
29     s[x]=(s[ls[x]]+s[rs[x]])%mod;
30     return x;
31 }
32 int dfs(int x){
33     if(!son[x][0])return newtree(1,m,lower_bound(b+1,b+1+m,w[x])-b);
34     int L=dfs(son[x][0]);
35     if(!son[x][1])return L;
36     int R=dfs(son[x][1]);
37     p=(w[x]*inv)%mod;
38     return merge(L,R,0,0);
39 }
40 ll calc(int l,int r,int x){
41     if(l==r)return (ll)l*b[l]%mod*s[x]%mod*s[x]%mod;
42     pushdown(x);
43     int mid=(l+r)>>1;
44     return (calc(l,mid,ls[x])+calc(mid+1,r,rs[x]))%mod;
45 }
46 int main(){
47     scanf("%d",&n);
48     for(int i=1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),son[x][son[x][0]?1:0]=i;
49     for(int i=1;i<=n;i++){
50         scanf("%lld",&w[i]);
51         if(!son[i][0])b[++m]=w[i];
52     }
53     sort(b+1,b+1+m);
54     printf("%lld",calc(1,m,dfs(1)));
55     return 0;
56 }

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