本文解析了NOIP编程竞赛中的三道题目，包括位运算、火柴棒拼数字及听音乐序列合法性验证，提供了详细的算法思路与代码实现。
位运算1(bit)
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题目描述
LYK拥有一个十进制的数N。它赋予了N一个新的意义：将N每一位都拆开来后再加起来就是N所拥有的价值。例如数字123拥有6的价值，数字999拥有27的价值。
假设数字N的价值是K，LYK想找到一个价值是K-1的数字，当然这个答案实在太多了，LYK想使得这个价值为K-1的数字尽可能大。
输入格式(bit.in)
一个数N。
输出格式(bit.out)
一个数表示答案。你需要输出一个非负整数，且这个数不包含前导0。
输入样例1
199
输出样例1
198
输入样例2
1000
输出样例2
0
对于20%的数据n<=10
对于40%的数据n<=100
对于60%的数据n<=1000
对于100%的数据1<=n<=100000。
通过观察，我们可以发现一个性质，当n的最后一位为大于等于1的数的时候我们可以直接将这个数减1以后就是答案、
但是如果最后一位为0的时候我们肯定不能这样再减了，为什么？你减去以后出来的数为9，不论怎么加都比当前数的价值大。这样的话我们我更高位上找，遇到一个不为0得数以后在减1，如果这个不为零的数在最高位上，且为1，这样我们就直接输出0
zz一样的没有考虑，n<10的这种情况，白丢掉了10分、、（呜呜）
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int n,s,sum; int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } int main() { freopen("bit.in","r",stdin); freopen("bit.out","w",stdout); n=read(); while(n) { sum=n%10,n/=10; if(sum>0) { sum--; if(n) printf("%d%d",n,sum); else {if(sum) {printf("%d",sum);break;} s=1;} for(int i=1;i<=s;i++) printf("0"); break; } else s++; } return 0; }
火柴棒 (stick)
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题目描述
众所周知的是，火柴棒可以拼成各种各样的数字。具体可以看下图：
通过2根火柴棒可以拼出数字“1”，通过5根火柴棒可以拼出数字“2”，以此类推。
现在LYK拥有k根火柴棒，它想将这k根火柴棒恰好用完，并且想知道能拼出的最小和最大的数分别是多少。
输入格式(stick.in)
一个数k。
输出格式(stick.out)
两个数，表示最小的数和最大的数。注意这两个数字不能有前导0。
输入样例
15
输出样例
108 7111111
数据范围
对于30%的数据k<=10。
对于60%的数据k<=20。
对于100%的数据1<k<=100。
对于最大的那个数我们可以发现一个小规律，我们知道位数最多的数一定最大对吧，那么我们就让我们凑出来的这个数位数最多，那么我们就尽量选那个耗用火柴数最少的那个，我们先用2个的，然后如果他是一个奇数的话，那么最后一定会剩下一个1，那么我们就判断如果他是奇数的话，我们就用一个耗3个火柴的，其余的又还是用2，如果是偶数，那么没有商量，直接用2.
然后我们再来考虑那个最小的数，同理我们需要把把我们拼出的数位数尽可能小，那么我们就要选用耗火柴数最多的数字，我们又可以发现0
耗用6个火柴，8耗用7个火柴，这两种可能在选用的时候拼出的数字位数一样多，在这个时候我们就只能选0，不选8了（这不废话吗、、），然后我们还可以发现我们如果讲能凑成8或6的都用来凑的话，可能不是最优的，例如15，我们完全可以拼出2个0但是这样的话我们剩下的就是3，这样的话我们拼出的数就是700了，这样显然不是最小的。这样我们就用其他的两个数来代替他们，我们在上面如果选用1个0的话，那么剩下的数为9，我们用随意两个数在组成这个9，看看最小可以是几。然后用一个数组记录一下，我们要输出最小值，那么在前面的数一定要最小，但是同时也不能等于0.再就是我们在用6个火柴的时候可以不选择0，可以选择6，我们知道68一定比80小
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int a[7]={0,2,3,4,5,6,7}; int b[8]={0,0,1,7,4,2,0,8}; int n,s,n1,n2,cnt,sum,ans[50]; int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } int work1(int n) { int m=0x7fffffff; if(n<=7) printf("%d",b[n]); else { if(n/7==n/6) { s=n/6-1,n=n%6+6; for(int i=n-7;i<=7;i++) { n1=b[i],n2=b[n-i]; if(n1>n2&&n2!=0||!n1) swap(n1,n2); if(n1*10+n2>m) continue; m=n1*10+n2; ans[1]=n1,ans[2]=n2; if(n2==0) { n2=6; if(n1>n2&&n2!=0||!n1) swap(n1,n2); if(n1*10+n2>m) continue; m=n1*10+n2; ans[1]=n1,ans[2]=n2; } } for(int i=3;i<=s+3;i++) ans[i]=b[6]; sort(ans+1,ans+s+3); if(!ans[1]) for(int i=2;i<=s+2;i++) if(ans[i]) {m=ans[1],ans[1]=ans[i],ans[i]=m; break;} for(int i=1;i<=s+2;i++) printf("%d",ans[i]); } else { s=n/7-1,n=n%7+7; for(int i=n-7;i<=7;i++) { n1=b[i],n2=b[n-i]; if(n1>n2&&n2!=0||!n1) swap(n1,n2); if(n1*10+n2>m) continue; m=n1*10+n2; ans[1]=n1,ans[2]=n2; if(n2==0) { n2=6; if(n1>n2&&n2!=0||!n1) swap(n1,n2); if(n1*10+n2>m) continue; m=n1*10+n2; ans[1]=n1,ans[2]=n2; } } for(int i=3;i<=s+3;i++) ans[i]=b[7]; sort(ans+1,ans+s+3); if(!ans[1]) for(int i=2;i<=s+2;i++) if(ans[i]) {m=ans[1],ans[1]=ans[i],ans[i]=m; break;} for(int i=1;i<=s+2;i++) printf("%d",ans[i]); } } printf(" "); } int work2(int n) { if(n%2) printf("7"),n-=2; for(int i=1;i<=n/2;i++) printf("1"); } int main() { freopen("stick.in","r",stdin); freopen("stick.out","w",stdout); n=read(); work1(n),work2(n); return 0; }
听音乐(music)
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题目描述
LYK喜欢听音乐，总共有n首音乐，有m个时刻，每个时刻LYK会听其中一首音乐，第i个时刻会听第ai首音乐。它给自己定了一个规定，就是从听音乐开始，听的每连续n首音乐都是互不相同的。例如当n=3时，从听歌开始，123321就是一个合法的顺序（此时LYK听了两轮歌，分别是123和321，每一轮的歌都是互不相同的），而121323就是一个不合法的顺序（LYK也听了两轮歌，第一轮中121存在听了两次相同的歌）。我们现在只截取其中一个片段，也就是说并不知道LYK之前已经听了什么歌。因此121323也仍然可以是一个合法的顺序，因为LYK之前可能听过3，然后再听121323，此时LYK听了三轮歌，分别是312,132和3。
现在LYK将告诉你这m个时刻它听的是哪首歌。你需要求出LYK在听这m首歌之前可能听过的歌的不同方案总数（我们认为方案不同当且仅当之前听过的歌的数量不同）。LYK向你保证它之前听过的歌的数量是在0~n-1之间的。因此你输出的答案也应当是0~n中的某个整数（答案是0表示LYK记错了，没有一个合法的方案）。
输入格式(music.in)
第一行两个数n,m。
第二行m个数表示ai。
输出格式(music.out)
一个数表示答案。
输入样例1
4 10
3 4 4 1 3 2 1 2 3 4
输出样例1
1
样例解释1：LYK之前一定只听过2首歌（12或者21），这样可以分成3部分分别是34,4132,1234，每一部分都没有出现相同的歌。对于其它情况均不满足条件。
输入样例2
6 6
6 5 4 3 2 1
输出样例2
6
样例解释2：LYK之前听过0~5首歌的任意几首都是有可能满足条件的。
数据范围
对于50%的数据n,m<=1000。
对于100%的数据1<=n,m<=100000,1<=ai<=n。
其中均匀分布着n<m以及n>=m的情况。
提示：
LYK知道这个题目很长，但为了便于理解已经加了很多注释了……建议没看懂的同学们再重新看一遍……
暴力做法：如果要以前听过歌，那么听过歌的情况一定是第一轮听的歌的个数在n以内。这样我们先确定第一轮的长度，看看当前这一轮是否合乎条件，如果满足条件的话，我们在判断在这种划分的前提下其他的划分出的轮数是否满足条件，如果均满足条件，那么这种情况就是合法的，我们在这个地方统计一个前缀和，用于判断一段区间是否满足条件，如果满足条件那么ans++。
我们这个地方还需要分类讨论，因为n可能比m大，这样的话我们在划分轮数的时候就只能划分为两轮，一轮为最前面的那一轮，另一轮为从i到m这一轮，我们判断这两轮是否都满足条件
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 1010 using namespace std; bool flag; int n,m,x,s,ans,a[N][N],maxn[N]; int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } int main() { freopen("music.in","r",stdin); freopen("music.out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { x=read(); for(int k=1;k<=n;k++) if(k==x) a[k][i]=a[k][i-1]+1; else a[k][i]=a[k][i-1]; maxn[i]=max(maxn[i],a[x][i]); } if(n<m) { for(int i=1;i<=n;i++) { flag=false; if(maxn[i]>1) {flag=true;break;} if(flag) break; for(int j=min(i+n,m);j<=m;j+=n) { if(i+n>m) s=i; else s=j-n; for(int k=1;k<=n;k++) if(a[k][j]-a[k][s]>1) {flag=true;break;} if(flag) break; } if(!flag) ans++; } } else { for(int i=1;i<=m;i++) { flag=false; if(maxn[i]>1) {flag=true;break;} if(flag) break; for(int k=1;k<=n;k++) if(a[k][m]-a[k][i]>1) {flag=true;break;} if(!flag) ans++; } } printf("%d",ans); return 0; }
我们统计一个前缀和，用来记录从每个点出发向右最远能扩展到的位置，然后我们枚举第一轮的右端点，然后判断在当前这种划分下是否合格，怎么判断是否合格呢，我们可以判断一段区间左端点是否可以扩展到右端点以外，如果可以则说明这种情况是合法的，ans++。
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 100010 using namespace std; bool flag,vis[N]; int n,m,a[N],sum[N],ans; int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f; } int work() {//预处理，x佬说在预处理一个点往右能扩展到的区间要倒这枚举 int r=m;sum[m]=m,vis[a[m]]=true;//最后一个点能扩展到的最远的位置就是他自己 for(int i=m-1;i;i--) { if(!vis[a[i]]) sum[i]=r,vis[a[i]]=true;//如果这个点在之前（这里的之前是指原序列的当前点的后面，因为我们是倒着枚举的）没有出现过，说明到现在这段区间是合法的 else//这个点如果在之前出现过，那么要使包含这个点的这个区间合法，我们就要找到那个之前出现过他的位置，从这个点到那个位置这段区间才是合法的（合法的定义为一段不包含同一种音乐的区间） { while(i<r) { if(a[i]==a[r]) {r--; break;}//找他之前出现过的位置，这个位置往前一个位置就是这段合法区间的右端点 vis[a[r--]]=false; } sum[i]=r; } } } int main() { freopen("music.in","r",stdin); freopen("music.out","w",stdout); n=read(),m=read();int j,s; for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(); work();//我们预处理出从每一个点向右最多能扩展到的位置，即为以这个点为左端点的情况下，哪一段区间是合法的，最大能扩展到的位置就是保证能够合法的区间 if(n<m)//我们分两种情况讨论，一种是n<m，一种是n>m，在第一种情况下我们一定可以分出>=2轮，在第二种情况下即为小于两轮 { for(int i=0;i<=n;i++)//这个地方我们枚举的是第一轮的右端点，左端点固定为1. { if(sum[1]<i) break;flag=false;//如果第一轮就不合法，直接break，因为往后的长度中一定要包含这个区间，这个区间都不合法，往后的一定都不合法 for(j=i+1;j<=m;j+=n)//判断分成的每一段是否都合法，我们知道一段的长度为n { //对于除第一轮以外的轮数，我们还是有两种情况，第一种为完整的n个，另一种是不完整的，只有在最后一轮的时候才有可能是不完整的，这样最后一轮的右节点一定是m if(j+n-1>m&&j<=m) s=m; else s=j+n-1;//n为每一轮的长度，若左节点为i，那么右节点为i+n-1 if(sum[j]<s) {flag=true; break;}//不可行的情况 } if(!flag) ans++; } } else//这种情况我们就不需要枚举了，直接判断我们划分成的这两轮/一轮是否合法就行了 { for(int i=0;i<n;i++)//这个地方不能单纯枚举到m，因为一轮的长度为n所以在这之前我们听过的歌有n种可能 { if(i<m)//这个地方我们要分类讨论了，在这种情况下有可能有两种情况，一种是将整段分为两轮，一种是就只有一轮 {if(sum[1]>=i&&sum[i+1]==m) ans++;}//分别判断这两轮是否都满足条件 else if(sum[1]==m) ans++;//只有一轮的时候，我们就只需要判断这一轮是否满足条件就好了 } } printf("%d",ans); return 0; }
距 NOIp2017 还剩 30 天
你可以做的事情还有很多，即使到最后一秒也不要放弃，因为不到结束的那一刻谁也不知道结果会怎样。
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