（ZZ）素数算法大全，及C程序实现优化详解 (一) 试除法

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经常有初学者询问求解N内所有素数（质数）的问题，对此，网上的解答也很多，但很多要么不够专业，要么只有程序没有算法解析，所以三藏大厦对此问题做个小结，探讨一下求解素数的常见算法，同时给出相应的C语言程序及其解析。为了方便初学者理解，本文将从易到难阐述不同算法，高手可以直接看后面的高效算法

质数的定义

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。 

试除判断法

算法描述：从上述定义可知，素数不能被1和它本身之外的数整除，所以，判断一个数x是否素数只要看它是否能被2~sqrt(x)间的数整除即可；而求N内所有素数则是循环重复上述过程。

C语言实现：

#include <time.h>
#include <malloc.h> 
#define N 100000
// 简单试除判断法 Ver1 
int SimpleDivisionV1(int n)
{
 int i,j;
 // 素数数量统计 
 int count = 0;
 // 分配存放结果的空间 
 int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n ); 
 
 // 2是素数谁都知道，不算了 
 primes[count++] = 2;
 // 循环计算3~n间的数 
 for (i=3; i<=n; i++)
 {
  // 为什么是sqrt(i)，思考一下 
  for (j=2; j<=sqrt(i); j++)
  {
   // i被j整除，显然不是素数了 
   if (i%j == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)间的数整除,素数也 
  if (j > sqrt(i))
  {
   primes[count++] = i;
  }
 }
 
 // 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
  
 // 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 
 free(primes);
 
 return count;
} 

void main()
{
 int count;
 clock_t start, end;
 // time函数不够精确，用clock凑合一下吧 
 start = clock(); 
 count = SimpleDivisionV1(N);
 
 end = clock();
 printf("[%d]以内素数个数：%d, 计算用时：%d毫秒\n", N, count, end-start);
 getch(); 
}

计算结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：468毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：10859毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：103560毫秒

噢噢，算算十万还行，百万就10秒多了，而且时间增长很快，这不行，得优化一下！

优化分析：

仔细研究一下SimpleDivisionV1我们可以发现以下几个问题：

1. 在循环条件中重复调用sqrt(i)显然是比较浪费时间的
2. 判断素数，真的需要拿2~sqrt(i)间的所有整数去除吗？我们知道，合数都可以分解成若干质数，所以只要2~sqrt(i)间的质数不能整除i即可

根据上面两点，我们可将SimpleDivisionV1升级为SimpleDivisionV2，如下

 // 简单试除判断法 Ver2 
int SimpleDivisionV2(int n)
{
 int i, j, k, stop;
 // 素数数量统计 
 int count = 0;
 // 分配存放结果的空间 
 int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n ); 
 
 // 2是素数谁都知道，不算了 
 primes[count++] = 2;
 stop = count;
 // 循环计算3~n间的数 
 for (i=3; i<=n; i++)
 {
  k = sqrt(i);
  // 在循环条件中重复调用sqrt是低效做法，故引入k 
  while (primes[stop] <= k && stop < count)
   stop++;
  // stop干什么用，思考一下
  for (j=0; j<stop; j++)
  {
   if (i%primes[j] == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)间的素数整除，自然也不能被其他数整除,素数也 
  if (j == stop)
  {
   primes[count++] = i;
  }
 }
 
 // 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
  
 // 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 
 free(primes);
 
 return count;
}

然后将main中调用的函数替换为SimpleDivisionV2，在看一下执行结果：

[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：46毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：546毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：3515毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：8000毫秒

很开心的看到，经过优化，速度提高了几十倍，尤其是时间增长曲线的坡度变小了，N值越大，V2函数比V1的效率就越高

对于试除判断这种质数算法来说，三藏认为SimpleDivisionV2基本已经接近极限，不大可能有量级上的突破了，有兴趣的朋友可以自己进一步优化。初学者除了参看上述例子外，可以尝试做各种修改及细节优化，也可以将除法变乘法，多加练习是学习编程的好方法。

虽然，上例中V2已经比V1快了很多了，但随着N的增大，耗时还是不少，那么我们还有更好的方法吗？

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