牛顿迭代法及最小二乘法

最新推荐文章于 2024-01-18 11:18:58 发布

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文章标签：数据结构与算法 matlab

本文详细介绍了牛顿迭代法及其MATLAB实现，用于计算复杂函数的近似根；同时阐述了最小二乘法原理及其实现，这是一种通过使偏差平方和最小化来进行多项式曲线拟合的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、牛顿迭代法

牛顿迭代法法是一种计算近似根算法。对于给定的复杂函数f(x)。经常使用来求该函数在给定初始值x0附近的近似根。该算法非常easy，就是一个迭代的过程：

迭代终止条件可设为：

matlab代码实现：

function y=mulNewton(a,n,x0,eps1)
    x(1)=x0;
    b=1;
    i=1;
    while(norm(b)>eps1)   %%迭代终止条件  公式（2）
        i=i+1;
        x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1));   %%公式（1）
        b=x(i)-x(i-1);
    end
    y=x(i);
    i
end
 
 
 
function y=n_f(a,n,x)%方程的函数
    y=0.0;
    for i=1:n+1
        y=y+a(i)*x^(n-i+1);
    end
end
 
 
 
function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数
    y=0.0;
    for i=1:n
        y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
    end
end

 
  
 
   
  2、最小二乘法 
  概念 
   
  最小二乘法多项式曲线拟合，依据给定的m个点，并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
   
  原理 
       给定数据点pi(xi。yi)，当中i=1，2，…。m。求近似曲线y= φ(x)。而且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1，2，...，m。  
    
  偏差平方和最小原则： 
  
 
   
    按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线。而且採取二项式方程为拟合曲线的方法。称为最小二乘法。
   
  
 
  
 
  matlab代码实现：
 
   
  注：利用MATLAB自带的最小二乘法函数ployfit()和ployval()实现。
   
   
  clc;
x=[0.5，1.0，1.5。2.0，2.5，3.0];
y=[1.75，2.45，3.81，4.80，7.00。8.60];
p=polyfit(x。y，2)%%最小二乘法函数，解出拟合曲线系数，放到P中
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p，x1);%%多项式曲线求值函数，返回相应自变量x在给定系数P的多项式的值。
plot(x，y，'*r'，x1，y1，'-b')