本文介绍洛谷P3987题目“我永远喜欢珂朵莉~”的解题思路与源代码实现。针对给定的数组与操作，采用质因数分解、树状数组和离线处理等技巧进行高效求解。
[洛谷P3987]我永远喜欢珂朵莉~
题目大意：
给你\(n(n\le10^5)\)个数\(A_{1\sim n}(A_i\le5\times10^5)\)，\(m(m\le5\times10^5)\)次操作，操作包含以下两种：
- 将区间\([l,r]\)间所有\(v\)的倍数除以\(v\)。
- 求区间\([l,r]\)所有数之和。
思路1：
对范围内要用到的每个质因数开一个set维护包含该质因子的\(A_i\)下标。
对于操作\(1\)，将\(v\)分解质因数，在set中查找下标在\([l,r]\)中的满足条件的数。并将这些数\(\div v\)。若操作过后不包含该质因数，则将其从set中删去。
对于操作\(2\)，用树状数组维护即可。
源代码1：
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<climits>
#include<sys/mman.h>
#include<sys/stat.h>
#include<ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
class MMapInput {
private:
char *buf,*p;
int size;
public:
MMapInput() {
register int fd=fileno(stdin);
struct stat sb;
fstat(fd,&sb);
size=sb.st_size;
buf=reinterpret_cast<char*>(mmap(0,size,PROT_READ,MAP_PRIVATE,fileno(stdin),0));
p=buf;
}
char getchar() {
return (p==buf+size||*p==EOF)?EOF:*p++;
}
};
MMapInput mmi;
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=mmi.getchar()));
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=mmi.getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return x;
}
typedef __gnu_pbds::tree<int,__gnu_pbds::null_type,std::less<int>,__gnu_pbds::rb_tree_tag,__gnu_pbds::tree_order_statistics_node_update> rbtree;
typedef long long int64;
const int N=1e5+1,M=1e5,A=1e6+1,P=78499;
bool vis[A];
int a[N],n,m,p[P],fail[N];
inline void sieve() {
for(register int i=2;i<A;i++) {
if(vis[i]) continue;
p[++p[0]]=i;
for(register int j=i*2;j<A;j+=i) {
vis[j]=true;
}
}
}
rbtree set[P];
class FenwickTree {
private:
int64 val[N];
int lowbit(const int &x) const {
return x&-x;
}
public:
void modify(int p,const int &x) {
for(;p<=n;p+=lowbit(p)) val[p]+=x;
}
int64 query(int p) const {
int64 ret=0;
for(;p;p-=lowbit(p)) ret+=val[p];
return ret;
}
int64 query(const int &l,const int &r) const {
return query(r)-query(l-1);
}
};
FenwickTree t;
int main() {
sieve();
n=getint(),m=getint();
for(register int i=1;i<=n;i++) {
a[i]=getint();
t.modify(i,a[i]);
int tmp=a[i];
for(register int j=1;p[j]*p[j]<=tmp;j++) {
if(tmp%p[j]==0) {
set[j].insert(i);
while(tmp%p[j]==0) {
tmp/=p[j];
}
}
}
if(tmp!=1) {
set[std::lower_bound(&p[1],&p[p[0]]+1,tmp)-p].insert(i);
}
}
for(register int tim=1;tim<=m;tim++) {
const int opt=getint();
const int l=getint(),r=getint();
if(opt==1) {
const int tmp=getint();
int v=tmp;
for(register int i=1;p[i]*p[i]<=v;i++) {
if(v%p[i]!=0) continue;
int sum=1;
for(;v%p[i]==0;v/=p[i]) sum*=p[i];
const rbtree::iterator begin=set[i].lower_bound(l);
const rbtree::iterator end=set[i].upper_bound(r);
if(v==1) {
for(rbtree::iterator it=begin;it!=end;) {
if(a[*it]%p[i]!=0) {
set[i].erase(it++);
continue;
}
if(a[*it]%tmp==0&&fail[*it]<tim) {
t.modify(*it,a[*it]/tmp-a[*it]);
a[*it]/=tmp;
}
it++;
}
continue;
}
for(rbtree::iterator it=begin;it!=end;) {
if(a[*it]%p[i]!=0) {
set[i].erase(it++);
continue;
}
if(a[*it]%sum!=0) fail[*it]=tim;
it++;
}
}
if(v!=1) {
const int i=std::lower_bound(&p[1],&p[p[0]]+1,v)-p;
const rbtree::iterator begin=set[i].lower_bound(l);
const rbtree::iterator end=set[i].upper_bound(r);
for(rbtree::iterator it=begin;it!=end;) {
if(a[*it]%v!=0) {
set[i].erase(it++);
continue;
}
if(a[*it]%tmp==0&&fail[*it]<tim) {
t.modify(*it,a[*it]/tmp-a[*it]);
a[*it]/=tmp;
}
it++;
}
}
}
if(opt==2) {
printf("%lld\n",t.query(l,r));
}
}
return 0;
}思路2：
本题是某年CCF-CSP原题，用当时原题的数据，上面的做法是过不了的。
考虑不要按照质因数维护set，将操作离线，对于每个\(v\)维护一个set。然后卡卡常就过了。
源代码：
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<climits>
#include<sys/mman.h>
#include<sys/stat.h>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
class MMapInput {
private:
char *buf,*p;
int size;
public:
MMapInput() {
register int fd=fileno(stdin);
struct stat sb;
fstat(fd,&sb);
size=sb.st_size;
buf=reinterpret_cast<char*>(mmap(0,size,PROT_READ,MAP_PRIVATE,fileno(stdin),0));
p=buf;
}
char getchar() {
return (p==buf+size||*p==EOF)?EOF:*p++;
}
};
MMapInput mmi;
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=mmi.getchar()));
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=mmi.getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return x;
}
typedef long long int64;
const int N=1e5+1,M=1e5,A=5e5+1;
int n,a[N];
struct Opt {
int type,l,r,v;
};
Opt o[M];
std::set<int> set[M];
std::vector<int> vec;
int id[A];
class FenwickTree {
private:
int64 val[N];
int lowbit(const int &x) const {
return x&-x;
}
public:
void modify(int p,const int &x) {
for(;p<=n;p+=lowbit(p)) val[p]+=x;
}
int64 query(int p) const {
int64 ret=0;
for(;p;p-=lowbit(p)) ret+=val[p];
return ret;
}
int64 query(const int &l,const int &r) const {
return query(r)-query(l-1);
}
};
FenwickTree t;
int main() {
n=getint();
const int m=getint();
for(register int i=1;i<=n;i++) {
t.modify(i,a[i]=getint());
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
o[i].type=getint();
o[i].l=getint();
o[i].r=getint();
if(o[i].type==1) {
o[i].v=getint();
if(o[i].v==1) continue;
vec.push_back(o[i].v);
}
}
std::sort(vec.begin(),vec.end());
vec.resize(std::unique(vec.begin(),vec.end())-vec.begin());
std::fill(&id[0],&id[A],-1);
for(register unsigned i=0;i<vec.size();i++) id[vec[i]]=i;
for(register int i=1;i<=n;i++) {
for(register int j=1;j*j<=a[i];j++) {
if(a[i]%j!=0) continue;
if(id[j]!=-1) set[id[j]].insert(i);
if(id[a[i]/j]!=-1) set[id[a[i]/j]].insert(i);
}
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
const int &opt=o[i].type,&l=o[i].l,&r=o[i].r;
if(opt==1) {
const int &v=o[i].v;
if(v==1) continue;
const std::set<int>::iterator begin=set[id[v]].lower_bound(l);
const std::set<int>::iterator end=set[id[v]].upper_bound(r);
for(register std::set<int>::iterator i=begin;i!=end;) {
if(a[*i]%v!=0) {
set[id[v]].erase(i++);
continue;
}
t.modify(*i,a[*i]/v-a[*i]);
a[*i]/=v;
if(a[*i]%v!=0) {
set[id[v]].erase(i++);
continue;
}
++i;
}
}
if(opt==2) {
printf("%lld\n",t.query(l,r));
}
}
return 0;
}
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