简单的函数——Min_25筛

最新推荐文章于 2020-12-04 00:03:41 发布

weixin_33912445

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10263570.html

本文详细介绍了Min-25筛法的原理与应用，该筛法用于筛选积性函数，通过递归计算和剪枝优化，实现高效求解。文章提供了完整的代码示例，包括预处理、递归计算及剪枝策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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就是实现一下Min-25筛筛积性函数的操作

首先要得到

$G(M,j)=\sum_{t=j}^{cnt} \sum_{e=1}^{p_t^{e+1}<=M} [\phi(p_t^e)*G([M/(p_t^e)],t+1)+\phi(p_t^{(e+1)})]$
$+(F(M)-(F(p_{j-1})))$

先要预处理后面的部分，得到$F(M)$和$F(p_{j-1})$

$F(p_{j-1})$可以直接筛素数的时候前缀和计算一下

$F(M)$就要利用第一步的筛法了

发现，除了2之外的质数都是奇数，所以f(p^1)=p xor 1=p-1

对于2要特判

对于G，直接根据式子大力计算即可。

递归处理。由于值还是比较分散的，所以没有记忆化的必要。（而且状态很多，对空间极为不友好）

剪枝：pri[t]的平方大于n就不用继续算了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define int long long
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=5e5+2;
const int M=5e5+2;
const int mod=1e9+7;
int pri[M],tot;
int sum[M];//pre of prime
bool vis[N];
int sqr;
ll f[N],g[N],h[N];
void sieve(int n){
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]){
            vis[i]=1;
            pri[++tot]=i;
        }
        for(reg j=1;j<=tot;++j){
            if(i*pri[j]>n) break;
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    for(reg i=1;i<=tot;++i){
        sum[i]=(sum[i-1]+pri[i])%mod;
        g[i]=(g[i-1]+(pri[i]^1))%mod;
    }
}
int id1[N],id2[N];

ll val[N];
ll n;
int S(int x,int j){
    if(x<=1||x<pri[j]) return 0;
    cout<<" xx "<<x<<" jj "<<j<<endl;
    int d=(x<=sqr)?id1[x]:id2[n/x];
    int ret=(f[d]-g[j-1]+mod)%mod;
    for(reg t=j;t<=tot&&pri[t]*pri[t]<=x;++t){
        int now=pri[t];
        for(reg e=1;now*pri[t]<=x;now=now*pri[t],++e){
            ret=(ret+(pri[t]^e)*S(x/now,t+1)%mod+(pri[t]^(e+1))%mod)%mod;
        }
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1){
        puts("1");return 0;
    }
    sqr=sqrt(n);
//    cout<<" sqr "<<sqr<<endl;
    sieve(sqr);
//    cout<<" after sieve "<<endl;
    int m=0;
    for(ll i=1,x;i<=n;i=x+1){
        x=n/(n/i);
        val[++m]=n/i;
        if(val[m]<=sqr) id1[val[m]]=m;
        else id2[n/val[m]]=m;
    }
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        f[i]=val[i]-1;h[i]=(((ll)val[i]%mod*(val[i]%mod+1))/2-1+mod)%mod;
    }
    for(reg j=1;j<=tot;++j){
        for(reg i=1;i<=m&&(ll)pri[j]*pri[j]<=val[i];++i){
            int to=(val[i]/pri[j])<=sqr?id1[val[i]/pri[j]]:id2[n/(val[i]/pri[j])];
            f[i]=(f[i]-(f[to]-(j-1))+mod+mod)%mod;
            h[i]=(h[i]-pri[j]*(h[to]-sum[j-1]+mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        if(val[i]>=2) f[i]=(h[i]-f[i]+2+mod)%mod;
        else f[i]=0;
    }
    //cout<<" after prewrk "<<endl;
    printf("%lld",(S(n,1)+1)%mod);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/1/13 17:03:03
*/