YY的GCD【莫比乌斯反演】

最新推荐文章于 2024-09-01 16:58:11 发布

转载最新推荐文章于 2024-09-01 16:58:11 发布 · 89 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/zerolt/p/9307569.html

本文详细解析了Luogu2257 YY的GCD问题，通过数学推导给出了求解特定范围内两数最大公约数为质数的对数的方法。并提供了具体的算法实现步骤。

[Luogu2257]YY的GCD
求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(x, y)\)为质数\(]\)
\(T \le {10}^4, 1\le n, m \le {10}^7\)
假设\(p\)为\(M\)以内的质数
\[\begin{aligned}ans&=\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i, j) == p]\\ &=\sum_{p\in prime}\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{xp}\rfloor\lfloor\frac{m}{xp}\rfloor\end{aligned}\]
令\(T=xp\)则
\[\begin{aligned}ans&=\sum_{T=1}^n\sum_{p\in prime \;\&\&\; p|T}{\mu(\frac{T}{p})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\\ &=\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{p\in prime \;\&\&\; p|T}\mu(\frac{T}{q}) \end{aligned} \]
只要筛出\(G(T)=\sum_{p\in prime \;\&\&\; p|T}\mu(\frac{T}{q})\)就可以\(O(\sqrt{N})\)算出
\[ans=\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor G(T)\]
这题除了\(ans\)都不能开\(long\;long\)，不然会\(TLE\)

void init(){
    miu[1]=1;
    for(int i=2; i < Maxn; i++){
        if(!p[i]) p[++ptot]=i, miu[i]=-1;
        for(int j=1, x; j <= ptot && (x=p[j]*i) < Maxn; j++){
            p[x]=1; if(i%p[j] == 0) break; miu[x]=-miu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i <= ptot; i++) for(int j=p[i]; j < Maxn; j+=p[i]) G[j]+=miu[j/p[i]];
    for(int i=1; i < Maxn; i++) G[i]+=G[i-1];
}
void solve(){
    init(); int T=read();
    while(T--){
        n=read(), m=read(); ll ans=0; if(n > m) swap(n, m);
        for(int l=1, r=0; r < n; l=r+1){
            r=min(n/(n/l), m/(m/l));
            ans+=1ll*(G[r]-G[l-1])*(n/l)*(m/l);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

转载于:https://www.cnblogs.com/zerolt/p/9307569.html