算法15---数论5---最大公约数，最小公倍数

算法16---数论5---最大公约数，最小公倍数

有一个难点就是stein算法的证明；

 

 

证明方式转自 http://blog.youkuaiyun.com/ztj111/article/details/1905015

 

首先引进一个符号：g_c_d是greatest common divisor（最大公约数）的缩写，g_c_d( x,y ) 表示x和y的最大公约数。然后有一个事实需要了解：一个奇数的所有约数都是奇数。这个很容易，下面我们要用到。

  来研究一下最大公约数的性质，我们发现有 g_c_d( k*x,k*y ) = k*g_c_d( x,y ) 这么一个非常好的性质（证明我就省去了）。说他好是因为他非常符合我们化小的思想。我们试取 k=2 ，则有 g_c_d( 2x,2y ) = 2 * g_c_d( x,y )。这使我们很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况我们如何化小呢？

 

  先来看看一奇一偶的情况： 设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = g_c_d( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=n*a，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 g_c_d( 2x,y ) <= g_c_d( x,y )。因为g_c_d( x,y )明显是2x和y的公约数，又有g_c_d( x,y ) <= g_c_d( 2x,y )，所以 g_c_d( 2x,y ) = g_c_d( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。

 

 再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，似乎x和y直接向小转化没有什么太好的办法，我们可以绕个道，把x和y向偶数靠拢去化小。不妨设x>y，我们注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 g_c_d( x+y,x-y ) = 2 * g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 g_c_d( x,y ) 与 g_c_d( x+y,x-y ) 以及 g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便我设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = g_c_d( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 g_c_d( m,n )<= g_c_d(x,y)。再设 b = g_c_d( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 g_c_d( x,y ) <= g_c_d( m,n )。所以 g_c_d( x,y ) = g_c_d( m,n ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )。

 

我们来整理一下，对两个正整数 x>y ：

1.均为偶数 g_c_d( x,y ) =2g_c_d( x/2,y/2 )；

2.均为奇数 g_c_d( x,y ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )；

2.x奇y偶 g_c_d( x,y ) = g_c_d( x,y/2 )；

3.x偶y奇 g_c_d( x,y ) = g_c_d( x/2,y ) 或 g_c_d( x,y )=g_c_d( y,x/2 )；

 

补充说明；

最大公约数还有一种方法，就是用欧几里得算法求最大公约数；

举例说明：

求gcd（30，21）

采用欧几里得算法：

伪代码：

euclid(a,b)

if b==0

     return a;

else return euclid(b,a mod b);

 

example:

euclid(30,21)=euclid(21,9)=euclid(9,3)=euclid(3,0)=3

 

 

  1 /*
  2     题目：最大公约数
  3     author taoliu——alex  2016.10   number4
  4 
  5     主要实现：
  6     求最大公约数
  7 
  8     我们主要采用两种方法来实现，一种是最常用的辗转相除法；
  9     另一种采用stein 算法
 10     第一种适合比较小的数字之间的计算；当时如果数据过大，就不适合了；
 11     stein算法就采用的是整数的以为和普通的加减方法实现的。
 12 
 13 
 14     再补充一种使用欧几里得算法求最大公约数的方法
 15 
 16 */
 17 
 18 
 19 
 20 
 21 
 22 #include <stdio.h>
 23 
 24 
 25 
 26 /*
 27 辗转相除法；
 28 */
 29 int gcd(int a,int b)
 30 {
 31     int m;
 32     int n;
 33     if (a>b)
 34     {
 35         m=a;
 36         n=b;
 37     }
 38     else
 39     {
 40         m=b;
 41         n=a;
 42     }
 43     int r=m%n;
 44     while(r!=0)
 45     {
 46         m=n;
 47         n=r;
 48         r=m%n;
 49     }
 50     return n;
 51 }
 52 
 53 
 54 /*
 55 方法2：stein算法；
 56 假设计算a和b两个数的最大公约数；
 57 （1）首先判断a或者b的值，如果a=0，b就是最大公约数，相反，a就是最大公约数；如果a和b都不为0；就执行下一步；
 58 （2）完成a1=a，b1=b，c1=1的赋值；
 59 （3）判断an，bn是否为偶数，若都为偶数，则使a（n+1）=an/2,b（n+1）=bn/2,c（n+1）=cn*2;如果判断an和bn中包含一个技术，则执行（4）（5）（6）；
 60 （4）若an是偶数，bn是奇数，则完成a（n+1）=an/2,b（n+1）=bn，c（n+1）=cn的赋值；
 61 （5）若an是奇数，bn是偶数，则完成a（n+1）=an,b（n+1）=bn/2，c（n+1）=cn的赋值；
 62 （6）若an，bn是奇数，，则完成a（n+1）=|an-bn|,b（n+1）=min（an，bn），c（n+1）=cn的赋值；
 63 （7）n累加1，跳转到第（3）步进行下一轮运算。
 64 
 65 */
 66 
 67 int gcd2(int a,int b)
 68 {
 69     int m,n;
 70     if (a>b) //还是使用m保存较大的数；
 71     {
 72         m=a;
 73         n=b;
 74     }
 75     else
 76     {
 77         m=b;
 78         n=a;
 79     }
 80 
 81     if (n==0)
 82     {
 83         return m;
 84     }
 85     if (m%2==0&&n%2==0)
 86     {
 87         return gcd2(m/2,n/2);
 88     }
 89     if (m%2==0)
 90     {
 91         return gcd2(m/2,n);
 92     }
 93     if (n%2==0)
 94     {
 95         return gcd2(m,n/2);
 96     }
 97     return gcd((m+n)/2,(m-n)/2);
 98 }
 99 
100 
101 //欧几里得算法
102 int euclid(int a,int b)
103 {
104     int m,n;
105     if (a>b) //还是使用m保存较大的数；
106     {
107         m=a;
108         n=b;
109     }
110     else
111     {
112         m=b;
113         n=a;
114     }
115     if (n==0)
116     {
117         return m;
118     }
119     else
120         return euclid(b,a%b);
121 }
122 
123 
124 int main()
125 {
126     int ans1=gcd(6,4);
127     printf("%d\n",ans1 );
128     int ans2=gcd2(9,3);
129     printf("%d\n",ans2 );
130     int ans3=gcd2(12,9);
131     printf("%d\n",ans3 );
132     return 0;
133 }

 

最小公倍数源代码

 

 

 1 /*
 2     题目：最小公倍数
 3     author taoliu——alex  2016.10   number4
 4 
 5     主要实现：
 6     求最小公倍数
 7 
 8 
 9 */
10 #include <stdio.h>
11 
12 
13 
14 int gcd(int a,int b)
15 {
16     int m;
17     int n;
18     if (a>b)
19     {
20         m=a;
21         n=b;
22     }
23     else
24     {
25         m=b;
26         n=a;
27     }
28     int r=m%n;
29     while(r!=0)
30     {
31         m=n;
32         n=r;
33         r=m%n;
34     }
35     return n;
36 }
37 
38 
39 int lcm(int a,int b)
40 {
41     int c=gcd(a,b);
42     int d=(a*b)/c;
43     return d;
44 
45 }
46 
47 
48 
49 int main()
50 {
51     int ans=lcm(3,4);
52     printf("%d\n", ans);
53     return 0;
54 }

 

 

 

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/tao-alex/p/5941079.html