借助比例因子简化运算

前言

涉及素材

• 常用的勾股数：\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)；

• 连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：

• 如三角形的三边之比为\(a：b：c=2：3：4\)，则可以设\(a=2k，b=3k，c=4k(k>0)\)；

• 同样的思路也可以用到圆锥曲线中，比如已知离心率\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则可知\(c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)\) ，则有\(b=\sqrt{2}t\)；

• 如\(\Delta ABC\)中，给定\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}\)，若令\(\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}=k\)，

则有\(cosA=\cfrac{a}{k}\)，\(cosB=\cfrac{b}{k}\)，\(cosC=\cfrac{c}{k}\)，

再结合\(sinA=\cfrac{a}{2R}\)，\(sinB=\cfrac{b}{2R}\)，\(sinC=\cfrac{c}{2R}\)，

故有\(tanA=tanB=tanC=\cfrac{k}{2R}\)，故\(A=B=C=\cfrac{\pi}{3}\)。

• 设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\)，则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=？

分析：引入比例因子，设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)，则\(S_6=k\)，\(S_3=2k\)，

\(S_6-S_3=-k\)，由\(S_3，S_6-S_3，S_9-S_6\)成等比数列，可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\)

则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\)，故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\cfrac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)。

• 已知\(a：b：c=2：3：4\)，引入非零因子\(k\)，则可以这样表达，\(a=2k，b=3k，c=4k\)，可以看成\(a，b，c\)都是\(k\)的一元函数了。

典例剖析

例1【2017全国卷1理科第11题】已知\(2^x=3^y=5^z\)，比较\(2x、3y、5z\)的大小；

分析：令\(2^x=3^y=5^z=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{lgk}{lg2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{lgk}{lg3}\)，\(z=log_5k=\cfrac{lgk}{lg5}\)，

故\(2x=\cfrac{2lgk}{lg2}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{2}lg2}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt{2}}\)，

\(3y=\cfrac{3lgk}{lg3}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{3}lg3}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

\(5z=\cfrac{5lgk}{lg5}=\cfrac{lgk}{\cfrac{1}{5}lg5}=\cfrac{lgk}{lg\sqrt[5]{5}}\)，接下来，

法1：(单调性法)转化为只需要比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，\(\sqrt[5]{5}\)三者的大小即可。

先比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)，给两个式子同时6次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^6=2^3=8\)，\((\sqrt[3]{3})^6=3^2=9\)，

故\(\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}>\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(2x>3y\)

再比较\(\sqrt[2]{2}\)，\(\sqrt[5]{5}\)，给两个式子同时10次方，

得到\((\sqrt[2]{2})^{10}=2^5=32\)，\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^2=25\)，

故\(\sqrt[2]{2}>\sqrt[5]{5}\)，则\(\cfrac{lgk}{lg\sqrt[2]{2}}<\cfrac{lgk}{lg\sqrt[3]{3}}\)，

即得到\(5z>2x\)，综上得到\(3y<2x<5z\)

法2：(作差法)

\(2x-3y=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{3lgt}{lg3}=\cfrac{lgt(2lg3-3lg3)}{lg2lg3}=\cfrac{lgt(lg9-lg8)}{lg2lg3}>0\)，故\(2x>3y\);

\(2x-5z=\cfrac{2lgt}{lg2}-\cfrac{5lgt}{lg5}=\cfrac{lgt(2lg5-5lg2)}{lg2lg5}=\cfrac{lgt(lg25-lg32)}{lg2lg5}<0\)，故\(2x<5z\);

综上有\(3y<2x<5z\)。

法3：(作商法)

\(\cfrac{2x}{3y}=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{lg3}{lg2}=\cfrac{lg9}{lg8}=log_89>1\)，故\(2x>3y\)；

\(\cfrac{5z}{2x}=\cfrac{5}{2}\cdot \cfrac{lg2}{lg5}=\cfrac{lg2^5}{lg5^2}=log_{25}32>1\)，

故\(5z>2x\)；故\(3y<2x<5z\)。素材链接

例2已知\(a，b>0\)，且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值；

分析：引入正数因子\(k\)，

令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，

则由\(2+log_2a=log_2(4a)=k\)，

得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；

由\(3+log_3b=log_3(27b)=k\)，

得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；

由\(log_6(a+b)=k\)，

得到\(a+b=6^k\)；

则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)

\(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)

\(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)

\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)

\(=2^2\cdot 3^3=108\)

例3已知\(2^x=3^y\)，求\(\cfrac{x}{y}\)的值。

分析：令\(2^x=3^y=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{1}{log_k2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{1}{log_k3}\)，

故\(\cfrac{x}{y}=\cfrac{\frac{1}{log_k2}}{\frac{1}{log_k3}}=\cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=\cfrac{lg3}{lg2}\)。

例16【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知平面向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)满足\((\vec{a}-2\vec{b})\perp (3\vec{a}+\vec{b})\)，且\(|\vec{a}|=\cfrac{1}{2}|\vec{b}|\)，则向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角的正弦值为【】

$A.\cfrac{1}{2}$ $B.-\cfrac{1}{2}$ $C.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $D.-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

分析：由题可知，\((\vec{a}-2\vec{b})\cdot (3\vec{a}+\vec{b})=0\)，化简得到，\(3\vec{a}^2-5\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{b}^2=0\)①，

由\(|\vec{a}|=\cfrac{1}{2}|\vec{b}|\)，可设\(|\vec{a}|=t(t>0)\)，则\(|\vec{b}|=2t\)，代入①式，

得到\(-10t^2cos\theta+5t^2=0\)，得到\(cos\theta=\cfrac{1}{2}\)，则\(sin\theta=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，故选\(C\).

例9【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】公元前6世纪，黄金分割被毕达哥拉斯学派发现，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。欧几里得在《几何原本》中论及正五边形有关黄金分割的定理：正五边形\(ABCDE\)中，\(AD\)，\(BE\)交于点\(H\)，则\(H\)为\(AD\)的黄金分割点，即\(\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)，现从如图所示的正五边形中任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率是【】

$A.\cfrac{2}{5}$ $B.\cfrac{\sqrt{5}}{5}$ $C.\cfrac{4}{7}$ $D.\cfrac{2+\sqrt{5}}{7}$

法1分析：由\(\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)，借助比例因子，则可设\(S_{\triangle AEH}=(\sqrt{5}-1)k(k>0)\)，\(S_{\triangle DEH}=2k\)，

且有\(S_{\triangle AHB}=S_{\triangle DHE}\)，又由于正五边形的对称性可知，\(S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCD}\)，\(S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDH}\)，

则\(S_{\triangle ABE}=(\sqrt{5}-1)k+2k=(\sqrt{5}+1)k\)，则\(S_{阴影}=2k+2k+(\sqrt{5}-1)k=(3+\sqrt{5})k\)，\(S_{正}=2k+3\cdot (\sqrt{5}+1)k=(5+3\sqrt{5})k\)，

故所求概率为\(P=\cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=\cfrac{(3+\sqrt{5})k}{(5+3\sqrt{5})k}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)。

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