最大子序列和问题

最大子序列和问题解析

最新推荐文章于 2025-09-04 16:11:29 发布

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最新推荐文章于 2025-09-04 16:11:29 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法面试

原文链接：http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/3768773.html

本文解析了最大子序列和问题，并提供了一种O(n)的动态规划解决方案。通过定义b[j]为到下标j为止连续子序列的最大和，利用状态转移方程b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]}

问题描述：给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大

这是我前几天参加新浪广告算法组面试的时候一个题目。自己当时脑袋浆糊了，加上前面答的不好，这里答的时候脑子一片空白。哎~

这一题本质在于动态规划的运用。至于O(n^3), O(n^2),还有O(nlogn)的解法我就不多说了。

先上代码

int FindMaxSumSubSequence(int a[], int len)
{
     int max  = 0;
     int sum = 0;
     for(int i = 0; i < len; i++)
     {
           sum += a[i];
           if ( sum > max )
                max = sum;
           else if ( sum < 0)
               sum = 0;
      }
      return max;
}

关键在于如何理解这样一段代码。

网上大众的解释如下

“在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。”

这是一种比较通俗化的描述，但没有深入动态规划的本质解释。尤其是如何解释“说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了”这样一句话。

下面将从动态规划的角度解释为什么可以在O(n)复杂度内解决问题

根据定义，我们可以定义bj

那么最大子段和为

由bj的定义知，b[j-1] > 0 时， b[j] = b[j-1] + a[j]，否则b[j] = a[j]

故状态转移方程为b[j] = max{b[j-1]+a[j], a[j]}

故代码如下

int MaxSum(int a[], int len)
{
     int sum = 0;
     int b = 0;
     for(int i = 0; i < n; ++i)
     {
          if ( b>0 ) 
               b+=a[i];
          else
               b = a[i];
          
          if ( b > sum ) sum = b;
     }
     return sum;
}