陶哲轩实分析 推论 12.5.9

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $K_1,K_2,K_3,\cdots$ 是 $X$ 的非空紧致子集合的一个序列,满足 $$ K_1\supset K_2\supset K_3\supset\cdots $$ 那么交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 非空.

\begin{proof}假设 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 是空集,则 $$ K_1\backslash\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\right)=K_1. $$ 根据摩根律, $$ K_1\backslash\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(K_1\backslash K_n\right). $$ 于是我们得到 $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(K_1\backslash K_n\right)=K_1 $$ 由于 $\forall n\in \mathbf{N}^{+}$, $K_1\backslash K_n$ 是 $K_1$ 上的开集(为什么?提示:$K_1\backslash K_n$ 在 $K_1$ 上的所有边界点也是 $K_n$ 的边界点,由于 $K_n$的紧致性,这些边界点都属于 $K_n$,因此都已经不属于 $K_1\backslash K_n$.),因此 $K_1$ 已经被开集族 $(K_1\backslash K_n)_{n\in\mathbf{N}^{+}}$ 覆盖,但是易得这个开集族中的任何有限个开集都无法覆盖 $K_1$ (因为 $\forall n\in\mathbf{N}^{+}$,$K_n$ 非空),这与 $K_1$ 的紧致性矛盾.可见,$\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 不是空集.\end{proof}

 注1:从实数的几大等价命题互相证明的角度来看,这个命题实质上是用有限覆盖定理证明闭区间套定理.

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