陶哲轩实分析命题 11.10.7

设 $[a,b]$ 是闭区间,并设
\begin{align*}
  \phi:[a,b]\to [\phi(a),\phi(b)]
\end{align*}
是可微的单调增函数,而且 $\phi'$ 是黎曼可积的.设$f:[\phi(a),\phi(b)]\to\mathbf{R}$ 是在 $[\phi(a),\phi(b)]$ 上黎曼可积的函数.那么 $(f\circ \phi)\phi':[a,b]\to\mathbf{R}$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可积函数,而且
\begin{align*}
  \int_{[a,b]}(f\circ \phi)\phi'=\int_{[\phi(a),\phi(b)]}f.
\end{align*}


证明: 由于 $\phi$ 是 $[a,b]$ 上的连续的单调增函数,$f$ 是$[\phi(a),\phi(b)]$ 上的黎曼可积函数,因此 $f\circ\phi$ 是 $[a,b]$上的黎曼可积函数(为什么?).再加上 $\phi'$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可积函数,因此 $(f\circ \phi)\phi'$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可积函数(为什么?).


由于
  \begin{align*}\int_{[\phi(a),\phi(b)]}f=\int_{[a,b]}f\circ \phi d\phi.\end{align*}
  (为什么?)因此我们只用证明
  \begin{equation}\label{eq:1}\int_{[a,b]}(f\circ \phi)\phi'=\int_{[a,b]}f\circ \phi d\phi\end{equation}
  当 $f$ 是逐段常值函数的时候, $f\circ \phi$ 也是逐段常值的,此时式\ref{eq:1} 显然成立(为什么?提示:由于逐段常值,因此可以把 $f\circ\phi$ 逐段提取出来,然后再用微积分第二基本定理).然后再用逐段常值函数逼近一般的黎曼可积函数 $f\circ\phi$,可得 \ref{eq:1} 成立(为什么?注意此时 $\phi$ 单调递增这个条件是有作用的,它保证 $\phi'$ 的非负性).

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