插入、归并、堆、count、radix、快速排序算法运行时间

最新推荐文章于 2024-06-17 09:37:54 发布

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文章标签：数据结构与算法 java python

原文链接：https://juejin.im/post/5ba97b95e51d450e99432470

本文深入解析了插入排序、归并排序、堆排序、计数排序、基数排序和快速排序等经典排序算法。详细介绍了每种算法的工作原理、实现代码及时间复杂度分析，帮助读者全面理解排序算法的优缺点。

Insertion Sort

把最大的元素往右边一直迁移

for i in range(len(data)):
		num = data[i]
		j = i -1
		while j>-1 and data[j]>num:
			data[j+1] = data[j]
			j-=1
		data[j+1]=num
复制代码

耗时分析：外部循环需要n次，内部最坏情况下也需要n次，总共次数为 $\theta(n^2)$

Merge Sort

把一个数组拆成左右两个部分，一直到不可拆分，然后对左右两个数组进行合并，合并方式为，新建左右两个数组来存储原有的左右数据，然后使用两个索引分别指向左右两个数组，将比较的结果放入原数组即可

def mergeLR(self,start,mid,end,data):
	i=0
	j=0
	k=start
	# python3 语法 range(start,mid+1) mid+1无法返回
	l=[ data[v] for v in range(start,mid+1) ]
	r=[ data[v] for v in range(mid+1,end+1) ]
	while i<len(l) and j<len(r):
		if l[i] >= r[j]:
			data[k]=r[j]
			k+=1
			j+=1
		else:
			data[k]=l[i]
			i+=1
			k+=1
	for li in range(i,len(l)):
		data[k]=l[li]
		k+=1
	for rj in range(j,len(r)):
		data[k]=r[rj]
		k+=1

# end 取值 如果给的是数组的长度，那么在merge的时候需要区分左侧merge和右侧merge end是否可以取得到
# 1分隔到最小的单元再合并
# 2合并左侧取到中间值，右侧则不获取
def subMerge(self,start,end,data):
	if start != end :
		mid = (end+start) // 2
		self.subMerge(start,mid,data)
		self.subMerge(mid+1,end,data)
		self.mergeLR(start,mid,end,data)
复制代码

耗时分析：

使用递归树分析如下：

从上到下，每次叠半，那么层数为lgn,横向看每层需要合并的数量之和为cn,所以总共耗时为 $\theta(nlgn)$ ,同时需要的空间为O(n)

java中的Arrays.sort(T[] a, int fromIndex, int toIndex,Comparator<? super T> c)可以使用MergeSort,只是后续不再使用，转而使用TimSort

Heap Sort

什么是堆

使用数组来存储元素，这个数组可以被看做一个完全二叉树

完全二叉树：所有的叶子节点具有相同的深度，树的每一层，可能除了最后一层，都是满的，比如数组a={16,14,10,8,7,9,3,2,4,1},展现形式为
可以得到一些简单的性质：parent(i)=i/2,left(i)=2i,right(i)=2i+1

最大堆：一个节点的值大于它的子节点的值
最小堆：一个节点的值小于它的子节点的值

从一个无序数组构建堆

def buildMaxHeap(self,data):
	length=len(data)
	# python3 语法，-1不会输出
	for i in range(length//2,-1,-1):
		self.maxHeapify(i,data,length-1)
复制代码

从length//2+1开始，后面所有的元素都是叶子节点

往前查询的时候，新的元素可能小于它的子节点，需要维持堆的性质

def maxHeapify(self,i,data,heapSize):
	lChild = 2*i+1
	rChild = lChild+1
	largeIndex = i
	if lChild <= heapSize and data[lChild] > data[i] :
		largeIndex = lChild
	if rChild <= heapSize and data[rChild] > data[largeIndex]:
		largeIndex = rChild
	if largeIndex != i:
		temp = data[i]
		data[i]=data[largeIndex]
		data[largeIndex]=temp
		self.maxHeapify(largeIndex,data,heapSize)
复制代码

假设要构建最大堆，当前数组如下
4违反了最大堆的性质，它的左右节点是满足最大堆的，这时需要调整,找到左右节点中最大值的下标，交换父节点的值，这里就是交换下标2和下标4
再迭代，直到满足堆的性质就可以停止

构建堆的时间分析

可以看到首先要遍历一半的数组，然后有可能面对从顶层到最底层的一次修正操作，而树的高度为lgn,那么时间一定是O(nlgn)，可以更细的来分析：

在叶子节点上一层，最多只交换1次，所需要的时间是O(1)，在叶子节点上的l层，次数为O(l)；
第1层，总共元素为 n/4个，第2层元素为n/8个，。。。，第lgn层为1个，那么时间为，令 ,有

c 2^k(1/2^0+2/2^1+3/2^2+4/2^3+..+(k+1)/2^k) = s

c 2^k (1/2^1+2/2^2+3/2^3+4/2^4+..+(k+1)/2^{k+1})=s/2

c 2^k (1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^3+..+1/2^k-(k+1)/2^{k+1})=s/2

c 2^k (1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^3+..+1/2^k) \gt s/2

c 2^k \frac{1(1-2^{-k-1})}{1-2^{-1}} \gt s/2

因此，构建一个堆的时间实际上是O(n)

c 代表常量时间，实际可证得是 $\theta(n)$

堆排序

从无序数组中构建一个最大堆，耗时 $\theta(n)$
找到最大的元素，和数组最后一个元素交换，此时最大元素在数组的最后面
移除数组最后一个元素，使得堆大小减1
对头部元素执行一次maxHeapify,恢复最大堆的性质

def maxHeap(self):
		data = self.loadData(self.tsf)
		# 1构建堆
		self.buildMaxHeap(data)
		# 2排序
		self.sort(data)


def sort(self,data):
	for i in range(len(data)-1,0,-1):
		temp=data[0]
		data[0]=data[i]
		data[i]=temp
		self.maxHeapify(0,data,i-1)
复制代码

java中PriorityQueue就是一个堆,往PriorityQueue中添加元素后，维护原有的堆关系：
private void siftUpComparable(int k, E x) {
   Comparable<? super E> key = (Comparable<? super E>) x;
   while (k > 0) {
       int parent = (k - 1) >>> 1;
       Object e = queue[parent];
       if (key.compareTo((E) e) >= 0)//当父节点大于子节点的时候停止
           break;
       queue[k] = e;
       k = parent;
   }
   queue[k] = key;
}
复制代码
注意它的本身不是线程安全的，线程安全的实现为PriorityBlockingQueue

至此可以得到。堆排的时间是O(nlgn)

Count Sort

将要排序的每一个数映射到一个数组的下标，然后按照顺序输出数组的值即可

def sort(self):
	k=self.maxValue+1
	L=[[] for i in range(k)] //创建大小为k的数组
	n=len(self.data)
	for j in range(n):
		# 保证原有的相同元素顺序不会更改 计算下标
		L[self.data[j]].append(self.data[j]) 
	print(L)
	output=[]
	for i in range(k):
		output.extend(L[i])
	print(output)
复制代码

时间分析：需要创建最大的k个数组，时间为O(k),然后遍历n原值，时间为O(n)，最后拼接到原有的输出值，每次需要判断L[i]==0?不是则加入，一直需要判断到k为止，整个过程中需要遍历L，把所有的元素加入新的元素，总共有n个，那么所耗时为O(n+k)。所需要的空间也是O(n+k)，如果k=O(n)，性能不错

Radix Sort

假设所有要排序的数字都是b进制，那么这个数字的位数 $d=\log_nk$ ,k表示最大的数(或者说要排序的数的最大的范围),排序规则为，首先查看所有数字的最低位，使用count sort来对最低位进行排序，然后第2位，一直到最高位即可

def sort(self):
	for i in range(1,self.maxDigit+1):
		self.__countSort(i)
		
	
def __countSort(self,n,b=10):
	"""b代表进制，比如10进制，说明，最大数字是10，使用count sort解决"""
	L=[[] for i in range(b)]
	for x in range(len(self.data)):
		v=self.data[x]
		vn=self.significantIntDigit(n,v) //获取对应位数
		L[vn].append(self.data[x])
	print(L)
	self.data=[]
	for i in range(b):
		self.data.extend(L[i])
		
def significantIntDigit(self,n,value):
		"""
		处理10进制
		int类型直接使用,与str相比不需要len
		"""
		return(value // 10 **(n-1))%10

复制代码

时间分析：每次排序使用的是count sort,需要时间为O(n+b),总共需要循环的次数为d次，总时间为 $O((n+b)d)=O((n+b)\log_bk)$ ,通常情况下， $b=\theta(n)$ 时，能取到最小值为O(n)

快速排序

核心思想：将要排序的数组分成两个部分，分别与选定的数据进行比较，使得，执行一遍之后，左边的数都小于选定的数右边的数都大于选定的数

def sort(data,start,end):
	if start>=end:
		return
	//使得执行完之后，数组左边的数都小于选定的数，小于右边的数
	index=partition(data,start,end)
	sort(data,start,index-1)
	sort(data,index+1,end)
def partition(data,start,end):
    //选定最后一个数作为标准
	choose=data[end];
	i=start-1;
	j=start;
	while j<end:
		if data[j]<choose:
			i=i+1;
			swap(data,i,j)
		j=j+1
	i=i+1;
	swap(data,i,end)
	return i;
def swap(data,i,j):
	temp=data[i]
	data[i]=data[j];
	data[j]=temp;
复制代码

图例：假设数组原始值如下

首选选定要比较的值为最后一个，即choose=data[end]。然后从做往右执行划分。初始化的时候，所有变量的值分别为