【noi 2.6_9289】Ant Counting 数蚂蚁｛Usaco2005 Nov｝（DP）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/konjak/p/6003443.html

本文介绍了一种典型的DP问题——M种N个蚂蚁家族的排列组合问题。通过定义状态f[i][j]来求解从i种家族中选择j只蚂蚁的不同方案数，并给出了一种利用前缀和优化时间和滚动数组优化空间的解法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有M个家族的蚂蚁，各Ni只（互相相同）。问选出 l~r 只的不同方案数。

解法：很基础的一种DP，不要被“排列组合”所迷惑了啊~我之前接触过这个类型，可惜又忘了，一定要记住！
这是一种类型的DP——M种N个进行DP，定义f[i][j]表示前 i 种中（这题是“家族”）选了 j 个（“只”蚂蚁）的方案数。再进行分层DP。也类似于多重背包问题的解法。

所以状态f[i][j]，是可以第 i 种选0~Ni只，也就是前 i-1 种选 j~j-Ni 只。
   f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+...+f[i-1][j-Ni]
          = f[i-1][j]+(f[i-1][j-1]+...+f[i-1][j-Ni]+f[i-1][j-Ni-1])-f[i-1][j-Ni-1]
            = f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-Ni-1]。            P.S.由于要保证 j 被减后>=0，所以我代码中用了比较后的k。
这样子利用前缀和优化时间+滚动数组优化空间就可以了。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define M 1010
 8 #define N 100010
 9 #define mod 1000000
10 
11 int a[N],h[M],f[2][N];//h[i]就是题目中的Ni
12 int mmin(int x,int y) {return x<y?x:y;}
13 
14 int main()
15 {
16     int m,n,l,r;
17     scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&l,&r);
18     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
19     sort(a+1,a+1+n);
20     int t=1; h[1]=1,h[m+1]=n+1;
21     for (int i=2;i<=n;i++)
22       if (a[i]!=a[i-1]) h[++t]=i;
23   
24     f[0][0]=1;
25     for (int j=1;j<h[2];j++) f[0][j]=0;
26     int u=1;
27     for (int i=1;i<=m;i++)
28     {
29       f[u][0]=1;
30       for (int j=1;j<h[i+1];j++)
31       {
32         int k=mmin(h[i+1]-h[i],j);//当前状态对于第i种最多能选的个数
33         f[u][j]=((f[u][j-1]+f[1-u][j])%mod-f[1-u][j-k-1]%mod+mod)%mod;
34         //for (int k=0;k<=h[i+1]-h[i]&&k<=j;k++)
35         //  f[i][j]+=f[i-1][j-k];
36       }
37       u=1-u;
38     }
39     int ans=0;
40     for (int j=l;j<=r;j++) ans=(ans+f[1-u][j])%mod;
41     printf("%d\n",ans);
42     return 0;
43 }