从内积的观点来看线性方程组

我们来看线性方程组
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  \begin{cases}
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
\vdots\\
a_{n1}x_1+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\
\end{cases}
\end{equation}
该线性方程组可以改写成内积的形式:$\forall 1\leq i\leq n$,我们有
\begin{equation}
  \label{eq:9}
  \begin{pmatrix}
    a_{i1}&\cdots&a_{in}
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    x_1\\
\vdots\\
x_n\\
  \end{pmatrix}=b_i.
\end{equation}
不妨设 $n$ 个向量 $\begin{pmatrix}
  a_{11}&\cdots&a_{1n}
\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}
  a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}$ 线性无关,则对于这 $n$ 个向量张成的线性空间来说,这 $n$ 个向量可以形成一组基 $P_n$.于是式 \ref{eq:9} 可以解释为向量 $\begin{pmatrix}
  x_1&\cdots&x_n
\end{pmatrix}^T$ 在基 $P_n$ 的各个向量上的投影.解线性方程组的本质也就是已知一个向量在一组基的各个向量上的投影,试确定该向量.从几何直觉上来看,这样的向量显然是唯一存在的.

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