数据结构-堆

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数据结构-堆

堆（英语：Heap），是一种拥有像树那样的特殊数据结构，或者理解为具有优先级的树。它的特点是父节点的值大于（或小于）两个子节点的值（分别称为大顶堆和小顶堆）。它常用于管理算法执行过程中的信息，应用场景包括堆排序，优先队列等。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组（或ArrayList）对象。常见的堆有二叉堆、二项堆、斐波那契堆等。

 

二叉堆（Binary heap）

二叉堆是一种特殊的堆，实为二叉树的一种；是完全二叉树或者是近似完全二叉树。二叉堆满足堆特性：父节点的键值总是保持固定的序关系于任何一个子节点的键值，且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆。

当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

 

二项堆（Binomial heap）

二项堆是一种类似于二叉堆的堆结构。与二叉堆相比，其优势是可以快速合并两个堆，因此它属于可合并堆（mergeable heap）抽象数据类型的一种。

二项堆是指满足以下性质的二项树的集合：

每棵二项树都满足最小堆性质，即结点关键字大于等于其父结点的关键字

不能有两棵或以上的二项树有相同度数（包括度数为0）。换句话说，具有度数k的二项树有0个或1个。

以上第一个性质保证了二项树的根结点包含了最小的关键字。第二个性质则说明结点数为n的二项堆最多只有\log{n} + 1棵二项树。实际上，包含n个节点的二项堆的构成情况，由n的二进制表示唯一确定，其中每一位对应于一颗二项树。

 

二项树（Binomial trees）

二项树递归定义如下：

数为0的二项树只包含一个结点

度数为k的二项树有一个根结点，根结点下有k个子女，每个子女分别是度数分别为k-1, k-2, ..., 2, 1, 0的二项树的根

度数为k的二项树共有2^k个结点，高度为k。在深度d处有（n d）（二项式系数）个结点。

度数为k的二项树可以很容易从两颗度数为k-1的二项树合并得到：把一颗度数为k-1的二项树作为另一颗原度数为k-1的二项树的最左子树。这一性质是二项堆用于堆合并的基础。

 

斐波那契堆（Fibonacci heap）

斐波那契堆(Fibonacci heap)是树的集合。它比二项式堆具有更好的平摊分析性能，可用于实现合并优先队列。不涉及删除元素的操作有O(1)的平摊时间。 Extract-Min和Delete的数目和其它相比，较小时效率更佳。稠密图每次decrease key只要O(1)的平摊时间，和二项堆的O(lg n)相比是巨大的改进。

斐波纳契堆于1984年由Michael L. Fredman与Robert E. Tarjan提出，1987年公开发表。名字来源于运行时分析使用的斐波那契数。

斐波那契堆是由一组最小堆有序树构成的。每个节点的度数为其子节点的数目。树的度数为其根节点的度数。

斐波那契堆中的树都是有根的但是无序。每个节点x包含指向父节点的指针p[x]和指向任意一个子结点的child[x]。x的所有子节点都用双向循环链表链接起来，叫做x的子链表。子链表中的每一个节点y都有指向它的左兄弟的left[y]和右兄弟的right[y]。如果节点y是x仅有的子节点，则left[y]=right[y]=y。

斐波那契堆中所有树的根节点也用一个双向循环链表链接起来。

使用一个指针指向斐波那契堆中最小元素。

 

堆的基本操作

创建一个堆build

向堆中插入一个新元素、新节点insert

将新元素提升、降低使其符合堆的性质update

增加、减小节点的值、增加、减小关键字的值、提高、降低一个节点的键值decrease-key

获取当前堆顶元素的值get

查找最小（大）关键字所在节点、查找最小（大）的节点 Find minimum、Find maximum, find-min

使删除堆顶元素的堆再次成为堆heapify

删除（释放）最小（大）关键字所在节点 Delete minimum, delete-min

删除给定节点Delete

删除堆顶元素、根节点delete

合并两个堆merge

 

某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

 

堆的应用

堆的最常见应用是堆排序，时间复杂度为O(N lg N)。如果是从小到大排序，用大顶堆；从大到小排序，用小顶堆。

 

转载于:https://my.oschina.net/dubenju/blog/469987