不等式中的一类易错题

例1已知函数\(f(x)=ax^2+bx，1\leq f(-1)\leq 2，2\leq f(1)\leq 4\)， 求\(f(-2)\)的取值范围。

【法1：错解】由\(\begin{cases}1\leq f(-1)\leq 2\\2\leq f(1)\leq 4\end{cases}\)得到\(\begin{cases}1\leq a-b \leq 2&①\\2\leq a+b \leq 4&②\end{cases}\)，

利用不等式的性质，将①②式相加减，

得到\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3，0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，所以\(6 \leq 4a \leq 12，-3\leq -2b \leq 0\)，所以\(3 \leq 4a-2b \leq 12\)，

故$ 3 \leq f(-2)=4a-2b \leq 12$

【错因分析】以上的解法打破了\(a，b\)取值的内在联系，它们的范围会发生变化，如由\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)，\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，当我们取\(a=\cfrac{3}{2}\)，\(b=\cfrac{3}{2}\)时，很明显\(a-b=0，a-b\notin [1，2]\)，故只要解法中没有把\(a-b\)，\(a+b\)当成一个整体对待的都是有问题的解法。

【法2】待定系数法，令\(f(-2)=mf(-1)+nf(1)\)，

则由\(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b\)，又由已知可知\(f(-2)=4a-2b\)

所以由对应系数相等得到方程\(\begin{cases} m+n=4 \\ m-n=2 \end{cases}\)

解得\(m=3，n=1\)

又由于\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4，\)所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)。

【法3】：方程组法

由已知有\(\begin{cases} f(-1)=a-b \\ f(\,\,\,\,1)=a+b \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} a=\cfrac{1}{2}\cdot [f(-1)+f(1)] \\ b=\cfrac{1}{2}\cdot [f(1)- f(-1)] \end{cases}\)

所以\(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)\)，又由于\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)，所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)

【法4】：线性规划法

用线性规划分析错误原因：解法1中得到单个的\(a、b\)的取值范围是\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，

由此作图得到的是矩形EFGH，由条件\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)得到的是矩形ABCD，

很显然两个矩形不一样，那么那个图形是对的？

我们可以看到在\(\Delta ADH\)内部的点，由线性规划知识可知并不满足条件\(1\leq a-b\leq 2\)，\(2\leq a+b\leq 4\)，

因此得到单个的\(a、b\)的取值范围是\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)是错的，显然扩大了单个\(a、b\)的取值范围。

正解分析：由线性规划可知，

当直线\(l_0：4x-2y=0\)经过点\(A(\cfrac{3}{2}，\cfrac{1}{2})\)时，

\(z=4x-2y\)有最小值，且\(z_{min}=4\times\cfrac{3}{2}-2\times\cfrac{1}{2}=5\)；

当直线\(l_0：4x-2y=0\)经过点\(C(3，1)\)时，

\(z=4x-2y\)有最大值，且\(z_{max}=4\times3-2\times1=10\)；

例2已知\(x，y\)为正实数，满足\(1\leq lgxy \leq 2\)，\(3\leq lg\cfrac{x}{y} \leq 4，\) 求\(lg(x^4y^2)\)的取值范围。

【法1】：类比上例中的法3

\(\because 1\leq lgxy \leq 2，\therefore 10\leq xy \leq 10^2，\)

又\(\because 3\leq lg\cfrac{x}{y} \leq 4，\therefore 10^3\leq \cfrac{x}{y} \leq 10^4，\)

$ 10^3\leq (xy)^3 \leq 10^6，10^3\leq \cfrac{x}{y} \leq 10^4，$

$ 10^6\leq x^3\cdot y^3 \cdot \cfrac{x}{y} =x^4\cdot y^2 \leq 10^{10}，$

$ 6\leq lg(x^4y^2) \leq 10$ ;

【法2】：类比上例中的法2

\(1\leq lgxy \leq 2\)，\(3\leq lg\cfrac{x}{y} \leq 4，\)

\(1\leq lgx+lgy \leq 2\)，\(3\leq lgx-lgy \leq 4，\)

仿照上例中的解法2，求得恰当的系数，可得

\(3\leq 3lgx+3lgy \leq 6\)，\(3\leq lgx-lgy \leq 4，\)

所以同向不等式相加得到

\(6\leq 3lgx+3lgy+lgx-lgy \leq 10\)

即\(6\leq 4lgx+2lgy=lg(x^4y^2) \leq 10\)

$ 6\leq lg(x^4y^2) \leq 10$

【解后反思】之所以将这两个例题放在一起，是因为例1中涉及到两个变量的加减运算，而例2中涉及两个变量的乘除运算。

例3已知\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，①求\(\alpha-\beta\)的取值范围；②求\(2\alpha-\beta\)的取值范围；

分析：①已知条件等价转化为不等式组\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2} }\\{ -\cfrac{\pi}{2}<\beta<\cfrac{\pi}{2} }\\{ \alpha<\beta }\end{array}\right.\)，

这样得到\(-\pi<\alpha-\beta<\pi\)，且\(\alpha-\beta<0\)，故\(-\pi<\alpha-\beta<0\)，

②仿上，先转化得到\(-\pi<\alpha-\beta<0\)，又由于\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，两个同向不等式相加，得到

\(-\cfrac{3\pi}{2}<2\alpha-\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，

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