不等式$\sum x_i^3(1-x_i)\leq\frac{1}{8}$

问题：若$n$个非负数之和为1，即$\sum x_i=1$，求证：$\sum x_i^3(1-x_i)\leq\frac{1}{8}$

引理1：若$\sum x_i=1$，当$n\geq3$时，必有两数之和小于$\frac{3}{4}$(｡･∀･)ﾉ
证明呗：显然$x_i+x_j$这样的数对有$C_n^2$组，然后：

$$\sum x_i+x_j=(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+...=(n-1)\cdot \sum x_i=n-1$$
由于 $x_i+x_j$这样的数对有 $C_n^2$组，其平均值为 $\frac{n-1}{C_n^2}=\frac{2}{n}$，于是必有两数之和小于 $\frac{2}{n}\leq\frac{2}{3}<\frac{3}{4}.$
没毛病？

引理2：若两个正数$x,y$，满足$x+y<\frac{3}{4}$，那么有

$$(x+y)^3-(x+y)^4>[x^3-x^4]+[y^3-y^4]$$
证明：展开之呗
$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} < 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) - \left( {4{x^2} + 6xy + 4{y^2}} \right) > 0\\ \Leftarrow 3\left( {x + y} \right) - \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) - 4{\left( {x + y} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right) < \frac{3}{4} \end{array}$$

ok证毕

引理3：$n=2$时原问题成立
证明：一波导数过去肯定可以的，没毛病

回到原问题：
设$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum x_i^3(1-x_i)$，不妨设$x_1 \geq x_2\geq ...,\geq x_n$，显然由引理1，$x_n+x_{n-1}<0.75$，于是立马用引理2有

$$f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(x_1,x_2,...,(x_{n-1}+x_n),0)$$
令 $x_1,x_2,...,(x_{n-1}+x_n)$从大到小重排得到 $x_1^{(1)},x_2^{(1)},...,x_{n-1}^{(1)},0$，显然其和依旧保持为1不变，那上式改写为：
$$f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(x_1^{(1)},x_2^{(1)},...,x_{n-1}^{(1)},0)$$
由于和保持1不变，所以由引理1，知道只要 $n \geq3$那么上述算法便可以继续重复操作下去，直到 $n=2$，即有
$$f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(x_1^{(1)},x_2^{(1)},...,x_{n-1}^{(1)},0)\leq ...\leq f(x_1^{(n-2)},x_2^{(n-2)},0,...,0)$$
由引理3有 $f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(x_1^{(n-2)},x_2^{(n-2)},0,...,0)\leq\frac{1}{8}$
等号在 $(0.5,0.5,0...,0)$处取得