归纳和数学归纳法

归纳和数学归纳法往往用于对一些无穷问题的证明。

归纳定义：
1.基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其他元素可以从基本元素出发逐步确定；
2.归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其他元素的规则；
3.终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员。
基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员。终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象。

归纳定义的例子：定义圣诞节
基本条款：耶稣降生的那天是圣诞节。
归纳条款：如果某天是圣诞节，则这一天后的第365天也是圣诞节（不考虑闰年）
终极条款：除了以上2条所包含的日子，其他日子都不是圣诞节。

数学归纳法：
首先证明在某个起点值时命题成立;（归纳基础）
然后证明从任意一个值到下一个值的过程有效。（归纳过程）
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。（结论）
把这个方法想成多米诺效应更容易理解。例如：有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果可以：
证明第一张骨牌会倒。
证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

例子：
证明3分钱和5分钱可以组成8分以上的任何币值。
证明：
8=3+5；9=3+3+3；10=5+5（归纳基础）
假设k分可以用3分和5分组成，则k+3（把8,9,10同时看成起点，或者3个分支）也可以用3分和5分组成。（很明显，因为我们有3分的币值）
所以3分钱和5分钱可以组成8分以上的任何币值。（结论）

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