本文深入探讨了组合数的基本性质及其数学应用，包括组合数公式、递推关系、组合恒等式及二项式定理。通过解析组合数的计算方法和特性，帮助读者理解并掌握组合数在概率论、离散数学和算法设计中的作用。
组合数的一些性质
\[ C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}\\ C_n^m=C_n^{n-m}\\ C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\\ C_{m+r+1}^{r}=\sum_{i=0}^rC_{m+i}^i\\ \]
\[ C_n^mC_m^r=\frac{n!}{m!(n-m)!}.\frac{m!}{r!(m-r)!}\\ C_n^mC_m^r=\frac{n!}{(n-m)!r!(m-r)!}\\ C_n^mC_m^r=\frac{n!(n-r)!}{r!(n-m)!(m-r)!(n-r)!}\\ C_n^mC_m^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\frac{(n-r)!}{(n-m)!(m-r)!}\\ n-m=n-r-(m-r)\\ C_n^mC_m^r=C_n^rC_{n-r}^{m-r}\\ \]
\[ \sum_{i=0}^nC_n^i=2^n \]
\(C_n^i\)可以看做n位二进制数有x个0的数的方案数，推广一下:
\[ \sum_{i=0}^nC_n^ix^i=(x+1)^n \]
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