面试题：检测点是否在扇形之内

前几天，同事在报告中提及检测角色是否在扇形攻击范围的方法。我觉得该方法的性能不是太好，提出另一个颇为直接的方法。此问题在游戏中十分常见，只涉及简单的数学，却又可以看出实现者是否细心，所以我觉得可当作一道简单的面试题。问题在微博发表后得到不少回应，故撰文提供一些解答。

问题定义:

在二维中，检测点 \mathbf{p}是否在 扇形(circular sector)内，设扇形的顶点为 \mathbf{c}，半径为 r，从 \mathbf{\hat{u}}方向两边展开 \theta角度。

当中 \mathbf{p},\mathbf{c},\mathbf{\hat{u}} 以直角坐标(cartesian coordinates)表示，r>0，0 < \theta < \pi。\mathbf{p}在扇形区边界上当作不相交。实现时所有数值采用单精度浮点数类型。

问题分析

许多相交问题都可以分拆为较小的问题。在此问题中，扇形可表示为圆形和角度区间的交集。

换句话说，问题等同于检测 \mathbf{p} 和 \mathbf{c} 的距离小于 r，及 \mathbf{p-c} 的方向在 \mathbf{\hat{u}} 两边 \theta 的角度范围内。

距离

\mathbf{p} 和 \mathbf{c} 的距离小于 r， 用数学方式表示:

|\mathbf{p} - \mathbf{c}| < r

极坐标

这是比较麻烦的部分，也是本题的核心。

有人想到，可以把 \mathbf{p-c} 和 \mathbf{\hat{u}} 从直角坐标转换成极坐标(polar coordinates)。数学上，\mathbf{p-c} 和 \mathbf{\hat{u}} 分别与 \mathbf{x} 轴的夹角可用atan2()函数求得:

\begin{align*} \phi &= \mathrm{atan2}(p_y - c_y, p_x - c_x)\\ \alpha &= \mathrm{atan2}(u_y, u_x) \end{align*}

然后，检查 \phi 是否在 (\alpha - \theta, \alpha + \theta) 区间内。但这要非常小心，因为 (\alpha - \theta, \alpha + \theta) 区间可能超越 (-\pi, \pi] 的范围，所以要检测:

\begin{align*} \alpha_1 &< \phi - 2\pi < \alpha_2 \text{ ; or}\\ \alpha_1 &< \phi < \alpha_2 \text{ ; or}\\ \alpha_1 &< \phi + 2\pi < \alpha_2 \end{align*}

这个方法是可行的，不过即使假设 \mathbf{\hat{u}} 和 \theta 是常数，可预计算 \alpha_1 和 \alpha_2 ，我们还是避免不了要计算一个atan2()。

点积

点积(dot product)可计算两个矢量的夹角，这非常适合本题的扇形表示方式。我们要检测 \mathbf{p-c} 和 \mathbf{\hat{u}} 的夹角是否小于 \theta :