巴特沃斯(Butterworth)滤波器 (1)

下面深入浅出讲一下Butterworth原理及其代码编写。

1. 首先考虑一个归一化的低通滤波器(截止频率是1),其幅度公式如下:

image

当n->∞时,得到一个理想的低通滤波反馈: ω<1时,增益为1;ω>1时,增益为1;ω=1时,增益为0.707。如下图所示:

image

 

将s=jω带入上式得:

image

根据以下三个公式

a. image,这里取σ=0

b. image

c. 拉普拉斯变换在虚轴s=jω上的性质:

   image

可以得到:

image

因此极点(分母为0的解)为:

image

根据imageimage得到:

image

因此可以求得极点在单位圆上:

image

如果k从0开始的话,上式括号里可以写作2k+n+1:

image   image

由于我们只对H(s)感兴趣,而不考虑H(-s)。因此低通滤波器的极点全部在负实半平面单位圆上:

image

 

该滤波器的传递函数为

image

 

下面是n=1到4阶的极点位置:

image

 

例如四阶Butterworth低通滤波器的极点所在角度为:

5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8

极点位置在:

image

因此传递函数为:

image

 

1到10阶的Butterworth多项式因子表格如下:

image

以上我们考虑的是幅度-3分贝时的截止频率为1时的情况:image

其它截止频率可将传递函数中的s替换为:image

例如二阶截止频率为100的传递函数为:

image

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