007 LazyPrim 算法求最小生成树

在文件中存储的带权无向图

8 16
4 5 .35
4 7 .37
5 7 .28
0 7 .16
1 5 .32
0 4 .38
2 3 .17
1 7 .19
0 2 .26
1 2 .36
1 3 .29
2 7 .34
6 2 .40
3 6 .52
6 0 .58
6 4 .93

LazyPrim 的实现 - O(ElogE)

• 从第一个节点开始做一个切分，将该点的所有临边都维护进横切边集合 pq 中；
• 从横切边集合 pq 中取出权最小的边 e，确保 e 两头的端点不在切分的同一边；
• 将这条权最小的边 e 纳入正在生成的 MST 中；
• 将这条边中尚未被纳入 MST 的端点纳入 MST，以最新的 MST 作为一个切分，在横切边集合 pq 中继续寻找下一条纳入 MST 的边；

package _08._03;


import java.util.Vector;

// 使用Prim算法求图的最小生成树
public class LazyPrimMST<Weight extends Number & Comparable> {

    private WeightedGraph<Weight> G;    // 图的引用
    private MinHeap<Edge<Weight>> pq;   // 最小堆, 横切边的集合
    private boolean[] marked;           // 标记数组, 在算法运行过程中标记节点 i 是否被纳入 MST 中
    private Vector<Edge<Weight>> mst;   // 最小生成树所包含的所有边
    private Number mstWeight;           // 最小生成树的权值

    // 构造函数, 使用Prim算法求图的最小生成树
    public LazyPrimMST(WeightedGraph<Weight> graph){

        // 算法初始化
        G = graph;
        pq = new MinHeap<Edge<Weight>>(G.E());
        marked = new boolean[G.V()];
        mst = new Vector<Edge<Weight>>();

        // Lazy Prim
        visit(0);
        while( !pq.isEmpty() ){ // O(e)
            // 使用最小堆找出已经访问的边中权值最小的边
            Edge<Weight> e = pq.extractMin(); // O(log(e))
            // 如果这条边的两端都已经访问过了, 则扔掉这条边
            if( marked[e.v()] == marked[e.w()] )
                continue;
            // 否则, 这条边则应该存在在最小生成树中
            mst.add( e );

            // 访问和这条边连接的还没有被访问过的节点
            if( !marked[e.v()] )
                visit( e.v() );
            else
                visit( e.w() );
        }

        // 计算最小生成树的权值

        mstWeight = mst.elementAt(0).wt();
        for( int i = 1 ; i < mst.size() ; i ++ )
            mstWeight = mstWeight.doubleValue() + mst.elementAt(i).wt().doubleValue();
    }

    // 访问节点v
    private void visit(int v){

        assert !marked[v];
        marked[v] = true;

        // 将和节点v相连接的所有未访问的边放入最小堆中
        for( Edge<Weight> e : G.adj(v) ) // O(e) 
            if( !marked[e.other(v)] )
                pq.insert(e); // O(log(e))
    }

    // 返回最小生成树的所有边
    Vector<Edge<Weight>> mstEdges(){
        return mst;
    };

    // 返回最小生成树的权值
    Number result(){
        return mstWeight;
    };
}

测试 LazyPrim 算法

package _08._03;

import java.util.Vector;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        String filename = "src/_08/_03/testG1.txt";
        int V = 8;

        SparseWeightedGraph<Double> g = new SparseWeightedGraph<Double>(V, false);
        ReadWeightedGraph readGraph = new ReadWeightedGraph(g, filename);

        // Test Lazy Prim MST
        System.out.println("Test Lazy Prim MST:");
        LazyPrimMST<Double> lazyPrimMST = new LazyPrimMST<Double>(g);
        Vector<Edge<Double>> mst = lazyPrimMST.mstEdges();
        for( int i = 0 ; i < mst.size() ; i ++ )
            System.out.println(mst.elementAt(i));
        System.out.println("The MST weight is: " + lazyPrimMST.result());

        System.out.println();
    }
}

输出：

Test Lazy Prim MST:
0-7: 0.16
7-1: 0.19
0-2: 0.26
2-3: 0.17
7-5: 0.28
5-4: 0.35
2-6: 0.4
The MST weight is: 1.81

辅助类

用于维护横切边的最小堆 - MinHeap

package _08._03;

import java.util.*;
import java.lang.*;

// 在堆的有关操作中，需要比较堆中元素的大小，所以Item需要extends Comparable
public class MinHeap<Item extends Comparable> {

    protected Item[] data;
    protected int count;
    protected int capacity;

    // 构造函数, 构造一个空堆, 可容纳capacity个元素
    public MinHeap(int capacity){
        data = (Item[])new Comparable[capacity+1];
        count = 0;
        this.capacity = capacity;
    }

    // 构造函数, 通过一个给定数组创建一个最小堆
    // 该构造堆的过程, 时间复杂度为O(n)
    public MinHeap(Item arr[]){

        int n = arr.length;

        data = (Item[])new Comparable[n+1];
        capacity = n;

        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
            data[i+1] = arr[i];
        count = n;

        for( int i = count/2 ; i >= 1 ; i -- )
            shiftDown(i);
    }

    // 返回堆中的元素个数
    public int size(){
        return count;
    }

    // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
    public boolean isEmpty(){
        return count == 0;
    }

    // 向最小堆中插入一个新的元素 item
    public void insert(Item item){

        assert count + 1 <= capacity;
        data[count+1] = item;
        count ++;
        shiftUp(count);
    }

    // 从最小堆中取出堆顶元素, 即堆中所存储的最小数据
    public Item extractMin(){
        assert count > 0;
        Item ret = data[1];

        swap( 1 , count );
        count --;
        shiftDown(1);

        return ret;
    }

    // 获取最小堆中的堆顶元素
    public Item getMin(){
        assert( count > 0 );
        return data[1];
    }


    // 交换堆中索引为i和j的两个元素
    private void swap(int i, int j){
        Item t = data[i];
        data[i] = data[j];
        data[j] = t;
    }

    //********************
    //* 最小堆核心辅助函数
    //********************
    private void shiftUp(int k){

        while( k > 1 && data[k/2].compareTo(data[k]) > 0 ){
            swap(k, k/2);
            k /= 2;
        }
    }

    private void shiftDown(int k){

        while( 2*k <= count ){
            int j = 2*k; // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
            if( j+1 <= count && data[j+1].compareTo(data[j]) < 0 )
                j ++;
            // data[j] 是 data[2*k]和data[2*k+1]中的最小值

            if( data[k].compareTo(data[j]) <= 0 ) break;
            swap(k, j);
            k = j;
        }
    }

    // 测试 MinHeap
    public static void main(String[] args) {

        MinHeap<Integer> minHeap = new MinHeap<Integer>(100);
        int N = 100; // 堆中元素个数
        int M = 100; // 堆中元素取值范围[0, M)
        for( int i = 0 ; i < N ; i ++ )
            minHeap.insert( new Integer((int)(Math.random() * M)) );

        Integer[] arr = new Integer[N];
        // 将minheap中的数据逐渐使用extractMin取出来
        // 取出来的顺序应该是按照从小到大的顺序取出来的
        for( int i = 0 ; i < N ; i ++ ){
            arr[i] = minHeap.extractMin();
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();

        // 确保arr数组是从小到大排列的
        for( int i = 1 ; i < N ; i ++ )
            assert arr[i-1] <= arr[i];
    }
}

SparseWeightedGraph

package _08._03;

import java.util.Vector;

// 稀疏图 - 邻接表
public class SparseWeightedGraph<Weight extends Number & Comparable>
        implements WeightedGraph {

    private int n;  // 节点数
    private int m;  // 边数
    private boolean directed;   // 是否为有向图
    private Vector<Edge<Weight>>[] g;   // 图的具体数据

    // 构造函数
    public SparseWeightedGraph( int n , boolean directed ){
        assert n >= 0;
        this.n = n;
        this.m = 0;    // 初始化没有任何边
        this.directed = directed;
        // g初始化为n个空的vector, 表示每一个g[i]都为空, 即没有任和边
        g = (Vector<Edge<Weight>>[])new Vector[n];
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            g[i] = new Vector<Edge<Weight>>();
    }

    public int V(){ return n;} // 返回节点个数
    public int E(){ return m;} // 返回边的个数

    // 向图中添加一个边, 权值为weight
    public void addEdge(Edge e){

        assert e.v() >= 0 && e.v() < n ;
        assert e.w() >= 0 && e.w() < n ;

        // 注意, 由于在邻接表的情况, 查找是否有重边需要遍历整个链表
        // 我们的程序允许重边的出现

        g[e.v()].add(new Edge(e));
        if( e.v() != e.w() && !directed )
            g[e.w()].add(new Edge(e.w(), e.v(), e.wt()));

        m ++;
    }

    // 验证图中是否有从v到w的边
    public boolean hasEdge( int v , int w ){

        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;

        for( int i = 0 ; i < g[v].size() ; i ++ )
            if( g[v].elementAt(i).other(v) == w )
                return true;
        return false;
    }

    // 显示图的信息
    public void show(){

        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            System.out.print("vertex " + i + ":\t");
            for( int j = 0 ; j < g[i].size() ; j ++ ){
                Edge e = g[i].elementAt(j);
                System.out.print( "( to:" + e.other(i) + ",wt:" + e.wt() + ")\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    // 返回图中一个顶点的所有邻边
    // 由于java使用引用机制，返回一个Vector不会带来额外开销,
    public Iterable<Edge<Weight>> adj(int v) {
        assert v >= 0 && v < n;
        return g[v];
    }
}

ReadWeightedGraph

package _08._03;

import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.File;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.Scanner;
import java.util.Locale;
import java.util.InputMismatchException;
import java.util.NoSuchElementException;

// 通过文件读取有全图的信息
public class ReadWeightedGraph {

    private Scanner scanner;

    // 由于文件格式的限制，我们的文件读取类只能读取权值为Double类型的图
    public ReadWeightedGraph(WeightedGraph<Double> graph, String filename){

        readFile(filename);

        try {
            int V = scanner.nextInt();
            if (V < 0)
                throw new IllegalArgumentException("number of vertices in a Graph must be nonnegative");
            assert V == graph.V();

            int E = scanner.nextInt();
            if (E < 0)
                throw new IllegalArgumentException("number of edges in a Graph must be nonnegative");

            for (int i = 0; i < E; i++) {
                int v = scanner.nextInt();
                int w = scanner.nextInt();
                Double weight = scanner.nextDouble();
                assert v >= 0 && v < V;
                assert w >= 0 && w < V;
                graph.addEdge(new Edge<Double>(v, w, weight));
            }
        }
        catch (InputMismatchException e) {
            String token = scanner.next();
            throw new InputMismatchException("attempts to read an 'int' value from input stream, but the next token is \"" + token + "\"");
        }
        catch (NoSuchElementException e) {
            throw new NoSuchElementException("attemps to read an 'int' value from input stream, but there are no more tokens available");
        }
    }

    private void readFile(String filename){
        assert filename != null;
        try {
            File file = new File(filename);
            if (file.exists()) {
                FileInputStream fis = new FileInputStream(file);
                scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(fis), "UTF-8");
                scanner.useLocale(Locale.ENGLISH);
            }
            else
                throw new IllegalArgumentException(filename + " doesn't exist.");
        }
        catch (IOException ioe) {
            throw new IllegalArgumentException("Could not open " + filename, ioe);
        }
    }

}

DenseWeightedGraph

package _08._03;

import java.util.Vector;

// 稠密图 - 邻接矩阵
public class DenseWeightedGraph<Weight extends Number & Comparable>
        implements WeightedGraph{

    private int n;  // 节点数
    private int m;  // 边数
    private boolean directed;   // 是否为有向图
    private Edge<Weight>[][] g;         // 图的具体数据

    // 构造函数
    public DenseWeightedGraph( int n , boolean directed ){
        assert n >= 0;
        this.n = n;
        this.m = 0;    // 初始化没有任何边
        this.directed = directed;
        // g初始化为n*n的布尔矩阵, 每一个g[i][j]均为null, 表示没有任和边
        // false为boolean型变量的默认值
        g = new Edge[n][n];
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            for(int j = 0 ; j < n ; j ++)
                g[i][j] = null;
    }

    public int V(){ return n;} // 返回节点个数
    public int E(){ return m;} // 返回边的个数

    // 向图中添加一个边
    public void addEdge(Edge e){

        assert e.v() >= 0 && e.v() < n ;
        assert e.w() >= 0 && e.w() < n ;

        if( hasEdge( e.v() , e.w() ) )
            return;

        g[e.v()][e.w()] = new Edge(e);
        if( e.v() != e.w() && !directed )
            g[e.w()][e.v()] = new Edge(e.w(), e.v(), e.wt());

        m ++;
    }

    // 验证图中是否有从v到w的边
    public boolean hasEdge( int v , int w ){
        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;
        return g[v][w] != null;
    }

    // 显示图的信息
    public void show(){

        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            for( int j = 0 ; j < n ; j ++ )
                if( g[i][j] != null )
                    System.out.print(g[i][j].wt()+"\t");
                else
                    System.out.print("NULL\t");
            System.out.println();
        }
    }

    // 返回图中一个顶点的所有邻边
    // 由于java使用引用机制，返回一个Vector不会带来额外开销,
    public Iterable<Edge<Weight>> adj(int v) {
        assert v >= 0 && v < n;
        Vector<Edge<Weight>> adjV = new Vector<Edge<Weight>>();
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ )
            if( g[v][i] != null )
                adjV.add( g[v][i] );
        return adjV;
    }
}

Edge

package _08._03;

// 边
public class Edge<Weight extends Number & Comparable> implements Comparable<Edge<Weight>>{

    private int a, b;    // 边的两个端点
    private Weight weight;  // 边的权值

    public Edge(int a, int b, Weight weight)
    {
        this.a = a;
        this.b = b;
        this.weight = weight;
    }

    public Edge(Edge<Weight> e)
    {
        this.a = e.a;
        this.b = e.b;
        this.weight = e.weight;
    }

    public int v(){ return a;} // 返回第一个顶点
    public int w(){ return b;} // 返回第二个顶点
    public Weight wt(){ return weight;}    // 返回权值

    // 给定一个顶点, 返回另一个顶点
    public int other(int x){
        assert x == a || x == b;
        return x == a ? b : a;
    }

    // 输出边的信息
    public String toString(){
        return "" + a + "-" + b + ": " + weight;
    }

    // 边之间的比较
    public int compareTo(Edge<Weight> that)
    {
        if( weight.compareTo(that.wt()) < 0 )
            return -1;
        else if ( weight.compareTo(that.wt()) > 0 )
            return +1;
        else
            return  0;
    }
}

WeightedGraph

package _08._03;

interface WeightedGraph<Weight extends Number & Comparable> {
    public int V();
    public int E();
    public void addEdge(Edge<Weight> e);
    boolean hasEdge(int v, int w);
    void show();
    public Iterable<Edge<Weight>> adj(int v);
}