分段二次插值例题_计算方法（2）——插值法（附Python程序）

给定一些数据，生成函数的方式有两种：插值，回归。

插值而得到的函数通过数据点，回归得到的函数不一定通过数据点。

下面给出拉格朗日插值，牛顿插值和Hermite插值的程序，

具体原理可参考课本，不再赘述。

拉格朗日插值法

线性插值 一次精度 需要2个节点

二次插值 二次精度 需要3个节点

n次插值 n次精度 需要n+1个节点

拉格朗日插值代码段（根据传入数据自动判断次数）：

# 返回多项式
def p(x,a):
    """
    p(x,a)是x的函数，a是各幂次的系数
    """
    s = 0
    for i in range(len(a)):
        s += a[i]*x**i
    return s

# n次拉格朗日插值
def lagrange_interpolate(x_list,y_list,x): 
    """
    x_list 待插值的x元素列表
    y_list 待插值的y元素列表
    插值以后整个lagrange_interpolate是x的函数
    """
    if len(x_list) != len(y_list):
        raise ValueError("list x and list y is not of equal length!")
    # 系数矩阵
    A = []
    for i in range(len(x_list)):
        A.append([])
        for j in range(len(x_list)):
            A[i].append(pow(x_list[i],j))
    b = []
    for i in range(len(x_list)):
        b.append([y_list[i]])
    # 求得各阶次的系数
    a = lu_solve(A, b) # 用LU分解法解线性方程组，可以使用numpy的类似函数
    a = transpose(a)[0] # change col vec a into 1 dimension
    val = p(x,a)
    print(x,val)
    return val

其中lu_solve(A,b)是自己写的轮子，可以用numpy的numpy.linalg.sovle(A,b)来代替

到后面会有一期讲矩阵方程直接法，会有讲到如何写lu_solve()

看一看插值的效果如何

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 待插值的元素值
x_points = [0,1,2,3,4,5]
y_points = [1,5,4,8,7,12]
# 拉格朗日插值
x = np.linspace(0,5)
y = list(map(lambda t: lagrange_interpolate(x_points,y_points,t),x))
# 画图
plt.scatter(x_points,y_points,color = "orange")
p