函数的凹凸区间怎么求_10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）...

一、单调性与极值

1、单调性

设函数

在D上有定义，若对于任何的

，且

，有

（或

），则称

在区域D上为严格的增函数（减函数）

函数单调性的判别法为：若在区间I内有

（或

），则说明函数

在区间I内严格递增（递减）

例题：判断函数

的单调性

解答：

（1）函数的定义域为

（2）求导数：

，所以

在定义域内为递减函数

注意：写到这里有的同学会误认为该函数是不是全集连续递减，实际不是的，比如：

这里的递减指的在连续的区间内是递减的，但由于x=-1是断点，将函数断开了，故函数不是在全集上递减，这个需记清楚

2、极值

若函数

在

的去心邻域内的函数值小于

（或大于

），称

为函数的极大点（或极小点），称

为极大值（或

为极小值）

极值点可能存在于两种情况：第一种是驻点（

的点）；第二种是导数不存在的点，在一道求解极值的题目中，首先先找出函数的驻点及导数不存在的点，再利用判别法求解该点是否为极值点

极值有三个判别方法

（1）若存在

，当

（且

）时有

（且

），则

为

极大点；当

（且

）时有

（且

），则

为

极小点

例题：已知

，判断

是否为函数极值点？

解答：

当

时，分母大于0，分子比分母为大于0的数，因此可知

当

时，分母小于0，分子比分母为大于0的数，因此可知

由上述讨论可知，当x大于0时，

，函数递增；当x小于0时，

，函数递减，函数从左往右先减后增，因此

为该函数的

极小点

（2）若函数

在

处二阶可导，且

，则当

（或

），

为

的极小点（或极大点）

（3）若函数

具有n阶导数（n为偶数），且

（k=1,2,3....n-1），则

（或

）时，

为

的极小点（或极大点）

二、凹凸性与拐点（与单调性类似，考虑f''(x)）

1、凹凸性

设函数

在D上有定义，若对于任何的

，且

，有

（或

），则称

在区域D上为凸函数（或凹函数）

函数凹凸性的判别法为：若在区间I内有

（或

），则说明函数

在区间I内为凹函数（凸函数）

例题：判断函数

的凹凸性

解答：

（1）：求一阶导数：

（2）：求二阶导数：

当x>0时，

，函数为

凹函数；当x<0时，

,函数为

凸函数

2、拐点

若函数

在

两侧的凹凸性不同，称

为曲线的拐点

拐点与极值点类似，可能存在于两种情况：第一种是二阶导为0的点（即

的点）；第二种是二阶导数不存在的点，在一道求解拐点的题目中，首先先找出函数二阶导为0及二阶导不存在的点，再利用判别法求解该点是否为拐点

拐点有两种个判别方法

（1）若存在

，当

与

）时有

异号，则

为拐点

例题：已知

，判断

是否为拐点？

解答：

当

时，分母大于0，分子比分母为大于0的数，因此可知

当

时，分母小于0，分子比分母为大于0的数，因此可知

由上述讨论可知，当x在0的两边时，

异号，因此

为拐点

（2）设

三阶可导，且

，但

，则

为拐点

三、渐近线：

渐近线可分为水平渐近线和垂直渐近线，水平渐近线又可再细分为水平和斜渐近线，三种渐近线求解方法不一，下面一一进行介绍：

1、垂直渐近线

垂直渐近线，顾名思义，就是垂直于x轴的渐近线，例如：

垂直渐进线的求解过程一般为：

（1）找出函数的间断点（若函数在R上连续，则该函数无垂直间断点）

（2）判断间断点是否为无穷间断点，如果是则垂直于x轴且通过改点的直线为垂直渐近线，如果不是无穷间断点，则该点不是垂直渐进线经过的点

无穷间断点判别法：

例题：求解

的垂直渐近线

（1）找出函数的间断点：x=-1

（2）计算间断点是否为无穷间断点：

由上述两点可确定x=-1为函数无穷间断点，因此函数的垂直渐进线为x=-1

2、水平渐近线

水平渐近线分为水平和斜渐近线，这里先讲讲水平渐进线，水平渐近线为平行于x的直线，形如下图：

水平渐进线的求解方法较为直接：直接对f(x)求极限即可，

若

，则y=A即为f(x)的水平渐近线

例题：求解

的水平渐近线

解答：

，所以该函数的水平渐近线为

y=0

3、斜渐近线

斜渐近线是除水平和垂直渐近线外的其他直线，形如：

因为斜渐近线为直线，所以采用斜渐近线的表达方式采用直线的形式进行表达：

因此求解渐近线的实质就是求解k、b的取值，具体求解方法如下：

（1）求解k值

（2）求解b值

k和b的取值确定后，则斜渐近线为：

例题：求解

的斜渐近线

（1）求解k值：

（2）求解b值：

所以该函数的斜渐近线为：y=x

今天的分享就到这里啦，后续仍会持续进行更新

码字不易，请大家点个赞吧~

另外如果有考研方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~