vcg函数值_互联网广告拍卖的数学描述及最优拍卖机制设计

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拍卖对大多数人来说并不陌生，且形式简单。拍卖活动产生于古代奴隶社会，最早可追溯至公元前500年古希腊的新娘拍卖。

然而拍卖又是一个较为复杂的问题，主要体现在对拍卖本质的认识与研究上，对拍卖理论的研究有利于拍卖机制的有效设计，进而促进资源的合理有效配置。

就互联网广告来说，从本质上讲也是一种特殊资源(流量)的拍卖形式，对拍卖理论的理解将有助于设计和修正实践中的广告竞价机制，获得更为长远的收益。本文将从单物品拍卖视角，从数学角度对拍卖理论进行相关介绍，并给出最优拍卖机制的设计。

1. 从单物品拍卖谈拍卖建模

1.1 单物品拍卖

单物品拍是诸多拍卖形式中较为简单的且运用场景较多的一种形式，具体的问题可表述为：“一个卖家有一个物品出售， 同时有若干个买家愿意购买该物品，但卖家并不清楚该物品对这些买家的实际价值，也不清楚买家愿意为其支付的费用。这时对于卖家来说，希望有一套合适的拍卖机制可以实现售卖该物品的期望收益最大化”。

为了研究方便，我们假设买家都是对称的，且报价是按照自己的对物品价值的真实估值披露给卖家(即满足直接披露机制假设)，虽然做了这个假设，但Myerson证明了，何一个可行的机制都有一个直接披露机制能够产生与其相同的买家和卖家收益期望，所以基于直接披露机制得出的最优机制设计，也具有一般性，即只需要在直接披露机制中找到最优机制，就是所有可行机制中的最优解。

从上面的问题描述可以看出整个拍卖活动涉及到买家的估价、买家的报价、卖家的资源分配、买家的支付等环节，如下图所示。拍卖机制的核心问题就是制定或设计一套能够达成最大化期望收益，且能够保证买家与卖家长期可持续发展的机制。

1.2 拍卖的几个基本假设

从单物品拍卖的问题描述，我们可以对拍卖作出以下几个合理的基本假设：

风险中性

买家在拍卖中的目标是最大化自己的预期收益，预期收益指买家的期望所得和期望支付之差。

私有估价

买家对物品的估价, 属于买家的私有信息，只有自己知道，卖家和其他买家是不知道的。

独立性

所有买家对物品的估价是独立随机变量。

理性假设

估值为0的买家预期支付也为0。

1.3 单物品拍卖的数学描述

如前所述，拍卖机制本质上是一套规则，依据参竞者的报价来决定拍卖的物品分配给哪一个买家，以及决定该胜出的买家应该支付的费用。本节将用数学语言对拍卖进行建模描述。假设卖家要拍卖一个商品，有 个参竞的买家集合表示为 。

(a) 估值描述

为 个买家对拍卖物品的价值估计，表示第