关于Java左子树右子树二叉树_关于java:数据结构之二叉树

1 重点概念

1.1 结点概念

一棵二叉树是节点的一个无限汇合，该汇合或者为空，或者由一个根节点加上两棵左子树和右子树组成

结点是数据结构中的根底，是形成简单数据结构的根本组成单位。

1.2 树结点申明

本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如：结点A在图中示意为：

2 树

2.1 定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的无限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；

2)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的无限集T1、T2、……、Tn，其中每一个汇合自身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还须要强调以下两点：

1)n>0时根结点是惟一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。

2)m>0时，子树的个数没有限度，但它们肯定是互不相交的。

示例树：

图2.1为一棵一般的树：

图2.1 一般树

由树的定义能够看出，树的定义应用了递归的形式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是非常理解，倡议先看看递归算法

2.2 结点的度

结点领有的子树数目称为结点的度。

图2.2中标注了图2.1所示树的各个结点的度。

图2.2 度示意图

2.3 结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。

图2.2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。

同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。

图2.2中，结点B与结点C互为兄弟结点。

2.4 结点档次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

图2.3示意了图2.1所示树的档次关系

图2.3 层示意图

2.5 树的深度

树中结点的最大档次数称为树的深度或高度。图2.1所示树的深度为4。

3 二叉树

3.1 定义

二叉树是n(n>=0)个结点的无限汇合，该汇合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、别离称为根结点的左子树和右子树组成。

图3.1展现了一棵一般二叉树：

图3.1 二叉树

3.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示剖析得出二叉树有以下特点：

1)每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

2)左子树和右子树是有程序的，秩序不能任意颠倒。

3)即便树中某结点只有一棵子树，也要辨别它是左子树还是右子树。

3.3 二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)

2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k\-1个节点。(k>=1)

3)n0=n2\+1 n0示意度数为0的节点数，n2示意度数为2的节点数。

4)在齐全二叉树中，具备n个节点的齐全二叉树的深度为\[log2n\]+1，其中\[log2n\]是向下取整。

5)若对含 n 个结点的齐全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对齐全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下个性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 \[i/2\] 的结点为其双亲结点;

(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；

(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

3.4 斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

图3.2 左斜树

图3.3 右斜树

3.5 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点有：

1)叶子只能呈现在最下一层。呈现在其它层就不可能达成均衡。

2)非叶子结点的度肯定是2。

3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

图3.4 满二叉树

3.6 齐全二叉树

齐全二叉树：对一颗具备n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中地位完全相同，则这棵二叉树称为齐全二叉树。

图3.5展现一棵齐全二叉树

图3.5 齐全二叉树

特点：

1)叶子结点只能呈现在最上层和次上层。

2)最上层的叶子结点集中在树的左部。

3)倒数第二层若存在叶子结点，肯定在右部间断地位。

4)如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。

5)同样结点数目的二叉树，齐全二叉树深度最小。

注：满二叉树肯定是齐全二叉树，但反过来不肯定成立。

3.7 二叉树的存储构造

3.7.1 顺序存储

二叉树的顺序存储构造就是应用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储地位，就是数组的下标索引。

图3.6

图3.6所示的一棵齐全二叉树采纳顺序存储形式，如图3.7示意：

图3.7 顺序存储

由图3.7能够看出，当二叉树为齐全二叉树时，结点数刚好填满数组。

那么当二叉树不为齐全二叉树时，采纳顺序存储模式如何呢？例如：对于图3.8形容的二叉树：

图3.8.png

其中浅色结点示意结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储构造如图3.9所示：

图3.9

其中，∧示意数组中此地位没有存储结点。此时能够发现，顺序存储构造中曾经呈现了空间节约的状况。

那么对于图3.3所示的右斜树极其状况对应的顺序存储构造如图3.10所示：

图3.10

由图3.10能够看出，对于这种右斜树极其状况，采纳顺序存储的形式是非常节约空间的。因而，顺序存储个别实用于齐全二叉树。

3.7.2 二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需要，那么思考采纳链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因而，能够将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。示意形式如图3.11所示：

图3.11

定义结点代码：

typedef struct BiTNode{

TElemType data;//数据 struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针 } BiTNode, *BiTree;

则图3.6所示的二叉树能够采纳图3.12示意。

图3.12

图3.12中采纳一种链表构造存储二叉树，这种链表称为二叉链表。

3.8 二叉树遍历

二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

3.8.1 定义

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点登程，依照某种秩序顺次拜访二叉树中的所有结点，使得每个结点被拜访一次，且仅被拜访一次。

二叉树的拜访秩序能够分为四种：

前序遍历

中序遍历

后序遍历

层序遍历

3.8.2 前序遍历

前序遍历艰深的说就是从二叉树的根结点登程，当第一次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。

3.13

图3.13所示二叉树拜访如下：

从根结点登程，则第一次达到结点A，故输入A;

持续向左拜访，第一次拜访结点B，故输入B；

依照同样规定，输入D，输入H；

当达到叶子结点H，返回到D，此时曾经是第二次达到D，故不在输入D，进而向D右子树拜访，D右子树不为空，则拜访至I，第一次达到I，则输入I；

I为叶子结点，则返回到D，D左右子树曾经拜访结束，则返回到B，进而到B右子树，第一次达到E，故输入E；

向E左子树，故输入J；

依照同样的拜访规定，持续输入C、F、G；

则3.13所示二叉树的前序遍历输入为：

ABDHIEJCFG

3.8.3 中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点登程，当第二次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。

图3.13所示二叉树中序拜访如下：

从根结点登程，则第一次达到结点A，不输入A，持续向左拜访，第一次拜访结点B，不输入B；持续达到D，H；

达到H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次拜访H，故输入H；

H右子树为空，则返回至D，此时第二次达到D，故输入D；

由D返回至B，第二次达到B，故输入B；

依照同样规定持续拜访，输入J、E、A、F、C、G；

则3.13所示二叉树的中序遍历输入为：

HDIBJEAFCG

3.8.4 后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点登程，当第三次达到结点时就输入结点数据，依照先向左在向右的方向拜访。

图3.13所示二叉树后序拜访如下：

从根结点登程，则第一次达到结点A，不输入A，持续向左拜访，第一次拜访结点B，不输入B；持续达到D，H；

达到H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次拜访H，不输入H；

H右子树为空，则返回至H，此时第三次达到H，故输入H；

由H返回至D，第二次达到D，不输入D；

持续拜访至I，I左右子树均为空，故第三次拜访I时，输入I；

返回至D，此时第三次达到D，故输入D；

依照同样规定持续拜访，输入J、E、B、F、G、C，A；

则图3.13所示二叉树的后序遍历输入为：

HIDJEBFGCA

尽管二叉树的遍历过程看似繁琐，然而因为二叉树是一种递归定义的构造，故采纳递归形式遍历二叉树的代码非常简略。

3.8.5 档次遍历

档次遍历就是依照树的档次自上而下的遍历二叉树。针对图3.13所示二叉树的档次遍历后果为：

ABCDEFGHIJ

3.8.6 遍历常考考点

对于二叉树的遍历有一类典型题型。

1)已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。

例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。

剖析：前序遍历第一个输入结点为根结点，故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点两头，故结点A的左子树中结点有CB，右子树中结点有EDF。

如图3.14所示：

图3.14

依照同样的分析方法，对A的左右子树进行划分，最初得出二叉树的状态如图3.15所示：

图3.15.png

2)已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。

后序遍历中最初拜访的为根结点，因而能够依照上述同样的办法，找到根结点后分成两棵子树，进而持续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的状态。

注：已知前序遍历序列和后序遍历序列，不能够惟一确定一棵二叉树。

4 总结

通过上述的介绍，曾经对于二叉树有了初步的意识。本篇文章介绍的基础知识心愿读者可能牢牢把握，并且可能在脑海中建设一棵二叉树的模型，为后续学习打好根底。

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