[51nod1135]原根

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ruoruoruo/p/7701075.html

本文介绍了一种用于寻找特定质数P下最小原根的算法。通过质因数分解φ(P)并验证每个小于P的数g是否满足原根条件，即对于所有φ(P)的质因子pi，g^(φ(P)/pi)不等于1模P，则g为P的一个原根。

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

给出1个质数P，找出P最小的原根。

Input

输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)

Output

输出P最小的原根。输出P最小的原根。

Input示例

Output示例

有一些结论

膜$m$有原根的充要条件是$m=1,2,4,p,2p,p^n$，其中$p$是奇质数，$n$是任意正整数

若膜$m$有原根，那么原根个数为$\phi\left(\phi\left(m\right)\right)$

膜$P$意义下的原根求法

对$\phi\left(P\right)$进行质因数分解

根据唯一分解定理可知一定能分解为$\phi\left(P\right)=p^{\alpha_1}_1*p^{\alpha_2}_2*\cdots *p^{\alpha_n}_n$

然后从$2$到$P$枚举每一个数

只要数$g$满足$g^{\frac{\phi\left(P\right)}{p_i}}\not=1(mod P)$

那么$g$就是膜$P$意义下的一个原根

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll ksm(ll a, ll b, const ll &mod){
    ll s = 1;
    while(b){
        if(b & 1) s = s * a % mod;
        b >>= 1;
        if(b) a = a * a % mod;
    }
    return s;
}
int pri[10], cnt = 0;
int main(){
    ll p, t;
    cin >> p;
    t = p - 1;
    for(int i = 2; i * i <= t; i++){
        if(t % i == 0){
            pri[++cnt] = i;
            while(t % i == 0) t /= i;
        }
    }
    if(t != 1) pri[++cnt] = t;
    bool flag; 
    for(int g = 2; g <= p; g++){
        flag = true;
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            t = ksm(g, (p - 1) / pri[j], p);
            if(t == 1){
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            cout << g << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

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