[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法（ECC）

　　今天在学椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）算法，自己手里缺少介绍该算法的专业书籍，故在网上查了很多博文与书籍，但是大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊！ 雷同不说，关键是介绍的都不是很清楚，是我在阅读过程中、产生的很多疑问无法解决！例如：只来句‘P+Q=R’，但是为什么等于呢？是根据什么计算出来的呢？ 后来查了好久，才发现：这是规定的、是定义！瞬间很是无语！

　　好了，不吐槽了，为了方便大家对椭圆曲线密码算法有系统的了解，我整理了几篇较好的博文，并加上了自己的见解！

　　[  时间有限、见解不深，如出现错误，欢迎指正！]

 

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　　比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥，选择的是secp256k1曲线。

　　椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography） 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码的算法，其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题的困难性。

　　在ECC流行起来之前，几乎所有的公钥算法都是基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要，经常与ECC一并使用。不过，RSA及其友类算法背后的原理很容易解释，因而被广泛理解，一些简单的实现也可以很容易编写出来；但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

 　　具体来说，我将触及以下主题：

　　1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

　　2. 密码学中的椭圆曲线

　　3. 椭圆曲线上的加密/解密

　　4. 椭圆曲线签名与验证签名

 

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一、数学上的椭圆曲线及相关概念

 　　1.1  从平行线谈起

　　平行线，永不相交。不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交？事实上没有人见到过。所以“平行线，永不相交”只是假设（大家想想初中学习的平行公理，是没有证明的）。既然可以假设平行线永不相交，也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞（请大家闭上眼睛，想象一下那个无穷远点P∞，P∞是不是很虚幻，其实与其说数学锻炼人的抽象能力，还不如说是锻炼人的想象力）。给个图帮助理解一下：

  

　　直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都相交了，且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。

　　以下是无穷远点的几个性质。

　　▲直线L上的无穷远点只能有一个。（从定义可直接得出）
　　▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。（从定义可直接得出）
　　▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。（否则L1和L2有公共的无穷远点P ，则L1和L2有两个交点A、P，故假设错误。）
　　▲平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线。（自己想象一下这条直线吧）
　　▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

 

　　1.2  射影平面坐标系

　　射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系（就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系）的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点设计坐标，不能表示无穷远点。为了表示无穷远点，产生了射影平面坐标系，当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点（数学也是“向下兼容”的）。

　　我们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标（x,y）做如下改造：
　　令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；则A点可以表示为（X:Y:Z）。
　　变成了有三个参量的坐标点，这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。

　　例1：求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标。
　　解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标，都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标。

　　我们也可以得到直线的方程aX+bY+cZ=0（想想为什么？提示：普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0）。新的坐标体系能够表示无穷远点么？那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识，我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么，如何求两条直线的交点坐标？这是初中的知识，就是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是：aX+bY+c1Z =0； aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2)；
　　（为什么？提示：可以从斜率考虑，因为平行线斜率相同）；

　　将二方程联立，求解。有c2Z= c1Z= -（aX+bY），∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0；
　　所以无穷远点就是这种形式（X：Y：0）表示。注意，平常点Z≠0，无穷远点Z=0，因此无穷远直线对应的方程是Z=0。

　　例2：求平行线L1：X+2Y+3Z=0 与L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。
　　解：因为L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0；所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4: