【bzoj3930】 CQOI2015—选数

最新推荐文章于 2025-09-12 13:16:34 发布

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本文介绍了一道求解特定区间内选择若干数使其最大公约数为定值的问题，通过枚举和数学性质的应用给出了有效的解题思路及代码实现。

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930 (题目链接)

题意

　　求在${[L,R]}$中选出${n}$个数，可以相同，使得它们的${gcd=K}$的方案数。

Solution

　　首先，我们有一个性质：如果选出来的数不全相同，那么它们的${gcd}$不会超过选出来的最大数与最小数之差。

　　为什么是这样呢，更相减损术嘛。

　　所以就好做咯，枚举gcd，然后瞎搞搞，最后再把全部选一个数的方案加上就好了。

代码

// bzoj3930
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define inf 2147483640
#define MOD 1000000007
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=100010;
LL f[maxn];
int n,K,L,R;

LL power(LL a,LL b) {
	LL res=1;
	while (b) {
		if (b&1) (res*=a)%=MOD;
		b>>=1;(a*=a)%=MOD;
	}
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d%d%d%d",&n,&K,&L,&R);
	for (int i=R-L;i>=1;i--) if (i%K==0) {
			int l=(L-1)/i,r=R/i;
			f[i]=power(r-l,n)-(r-l);
			for (int j=2;i*j<=R-L;j++)
				f[i]=(f[i]-f[i*j]+MOD)%MOD;
		}
	if (K>=L && K<=R) (++f[K])%=MOD;
	printf("%lld",f[K]);
	return 0;
}

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