动态树Link-cut tree(LCT)总结

LCT动态树详解

最新推荐文章于 2023-12-24 11:34:17 发布

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#数据结构与算法

本文深入探讨了LCT动态树的原理与应用，讲解了如何使用Splay树维护动态树的连通性，包括基本操作如access、makeroot、findroot、split、link和cut的实现，以及洛谷P3690【模板】LinkCutTree（动态树）的代码示例。

动态树是个好玩的东西

LCT题集

预备知识

Splay

树链剖分(好像关系并不大)

动态树(Link-cut tree)

先搬dalao博客

什么是LCT?
动态树是一类要求维护森林的连通性的题的总称，这类问题要求维护某个点到根的某些数据，支持树的切分，合并，以及对子树的某些操作。其中解决这一问题的某些简化版（不包括对子树的操作）的基础数据结构就是LCT(link-cut tree)。
LCT的大体思想类似于树链剖分中的轻重链剖分，轻重链剖分是处理出重链来，由于重链的定义和树链剖分是处理静态树所限，重链不会变化，变化的只是重链上的边或点的权值，由于这个性质，我们用线段树来维护树链剖分中的重链，但是LCT解决的是动态树问题（包含静态树），所以需要用更灵活的Splay来维护这里的“重链”

讲了这么多,其实就是维护森林的树链剖分,每一条链用Splay维护

LCT的主要性质

每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
比如有一棵树，根节点为1（深度1），有两个儿子2,3（深度2），那么Splay有3种构成方式：
{1−2},{3}
{1−3},{2}
{1},{2},{3}（每个集合表示一个Splay）
而不能把1,2,3同放在一个Splay中（存在深度相同的点）
每个节点包含且仅包含于一个Splay中
边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
因为性质2，当某点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个Splay中的。
那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。

各种操作

access(x)

打通\(x\)到动态树的根的路径(使路径上的所有点在同一个Splay中)

void access(int x) {
    for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa)
        splay(x), t[x].ch[1] = y, pushup(x);
    return ;
}

makeroot(x)

使\(x\)变成动态树的根

void makeroot(int x) {
    access(x); splay(x);putrev(x);
    return ;
}

findroot(x)

用来判断连通性(类似并查集)（findroot(x)==findroot(y)表明x,y在同一棵树中）

inline int findroot(int x) {
    access(x); splay(x);
    while (t[x].ch[0]) pushdown(x), x = t[x].ch[0];
    return x;
}

split(x,y)

打通\(x\)到\(y\)的路径(类似access)

void split(int x, int y) {
    makeroot(x), access(y), splay(y);
    return ;
}

link(x,y)

连接\(x-y\)

void link(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x) return ;//已经连通
    t[x].fa = y;//如果写成t[y].fa = x, y与原先的树就断开,就不会与其连通
    return ;
}

cut(x, y)

断开\(x-y\)

void cut(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x && t[x].fa == y && !t[x].ch[1])//满足它们直接连接才断开
        t[x].fa = t[y].ch[0] = 0, pushup(y);
    return ;
}

例题

洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long
#define RG register
const int N = 300010;
using namespace std;

inline int gi() {
    RG int x = 0; RG char c = getchar(); bool f = 0;
    while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if (c == '-') c = getchar(), f = 1;
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x*10+c-'0', c = getchar();
    return f ? -x : x;
}

struct node {
    int v, s, fa, ch[2];
    bool rev;
}t[N];
int S[N], top;
void putrev(int x) {
    swap(t[x].ch[0], t[x].ch[1]);
    t[x].rev ^= 1;
    return ;
}
#define pushup(x) (t[x].s = (t[x].v^t[t[x].ch[0]].s^t[t[x].ch[1]].s))
void pushdown(int x) {
    if (t[x].rev) {
        if (t[x].ch[0]) putrev(t[x].ch[0]);
        if (t[x].ch[1]) putrev(t[x].ch[1]);
        t[x].rev = 0;
    }
    return ;
}
#define get(x) (t[t[x].fa].ch[1]==x)
bool isroot(int x) {
    return (t[t[x].fa].ch[0] != x) && (t[t[x].fa].ch[1] != x);
}
void rotate(int x) {
    int k = get(x), y = t[x].fa, z = t[y].fa;
    if (!isroot(y)) t[z].ch[get(y)] = x;
    t[x].fa = z;
    t[t[x].ch[k^1]].fa = y, t[y].ch[k] = t[x].ch[k^1];
    t[y].fa = x, t[x].ch[k^1] = y;
    pushup(y);
    return ;
}
void splay(int x) {
    S[top = 1] = x;
    for (RG int i = x; !isroot(i); i = t[i].fa) S[++top] = t[i].fa;
    for (RG int i = top; i; i--) pushdown(S[i]);
    while (!isroot(x)) {
        int y = t[x].fa;
        if (!isroot(y))
            (get(x) ^ get(y)) ? rotate(x) : rotate(y);
        rotate(x);
    }
    pushup(x);
    return ;
}
void access(int x) {
    for (int y = 0; x; y = x, x = t[x].fa)
        splay(x), t[x].ch[1] = y, pushup(x);
    return ;
}
void makeroot(int x) {
    access(x); splay(x);putrev(x);
    return ;
}
inline int findroot(int x) {
    access(x); splay(x);
    while (t[x].ch[0]) pushdown(x), x = t[x].ch[0];
    return x;
}
void link(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x) return ;
    t[x].fa = y;
    return ;
}
void split(int x, int y) {
    makeroot(x), access(y), splay(y);
    return ;
}
void cut(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x && t[x].fa == y && !t[x].ch[1])
        t[x].fa = t[y].ch[0] = 0, pushup(y);
    return ;
}


int main() {
    int n = gi(), T = gi();
    for (RG int i = 1; i <= n; i++) t[i].v = gi();
    while (T--) {
        int op = gi(), x = gi(), y = gi();
        if (!op) {
            split(x, y);
            printf("%d\n", t[y].s);
        }
        else if (op == 1) link(x, y);
        else if (op == 2) cut(x, y);
        else {
            access(x); splay(x); t[x].v = y; pushup(x);
        }
    }
    return 0;
}

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