【题解】Atcoder ARC#94 F-Normalization

最新推荐文章于 2023-01-16 18:56:45 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/twilight-sx/p/9732275.html

本文深入探讨了一道复杂算法题的解决思路，揭示了序列变换的神秘性质。通过对序列进行模意义下的求和分析，发现了转换前后序列的和保持不变的特性，并提出了解决方案的动态规划算法。文章详细介绍了状态定义、转移过程及特殊情况的处理，为理解序列变换提供了一种新颖而深刻的视角。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　　再次膜拜此强题！神级性质之不可能发现系列收藏++；首先，对于长度<=3的情况，我们采取爆搜答案（代码当中是打表）。对于长度>=4的情况，则有如下几条玄妙的性质：

　　首先我们将 a, b, c 三个字母看做 0, 1, 2。发现（不知道怎么发现的）当我们做出一次变换之后，数列的和在模意义下是不改变的。（*启示：很多关系好像都和取模之后的某些东西有关，例如食物链，此题，and so on）。

　　那么：当一个序列 T 可以由 S 转化过来时，T必须满足如下几条性质：

　　1.T的各位字母之和与S的各位字母之和在 %3 的意义下相等。

　　2.T中必须存在有两个相邻的相同字母（如果不是，不可能是变换后的结果）

　　当以上两条性质都不满足时，还剩下一种情况，即 S = T。

　　如何证明是对的？题解如是说：当 n = 4 时，我们可以用打表来验证此性质。当 n > 4 时，我们可以让第一个字母通过变换变成一样的，然后就变成了两个 n - 1 的序列。这样递归下去，当递归到 4 时，即可得证。看起来好像很对的样子，然而怎么证明一定可以把第一个字母变成一样的呢？我并不会……

　　建立状态 f[i][j][k][p] 表示 dp 到第 i 位，前面的和在模意义下为 j ，最后一位是 k ，是否已经有两个相邻的相同字母的方案数。然后枚举一下，转移就可以惹……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 200050
#define mod 998244353
int n, ans, f[maxn][3][3][2], sum;
char a[maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c; c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

bool Check()
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++) 
        if(a[i] != a[i - 1]) return 0;
    return 1;
}

bool Check2()
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++) 
        if(a[i] == a[i - 1]) return 0;
    return 1;
}

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }
void DP(int i, int j, int k, int p)
{
    for(int q = 0; q <= 2; q ++)
        Up(f[i + 1][q][(q + k) % 3][p | (j == q)], f[i][j][k][p]);
}

signed main()
{
    scanf("%s", a + 1); n = strlen(a + 1);
    if(Check()) { puts("1"); return 0; }
    if(n <= 3)
    {
        if(n == 2) puts("2");
        else 
        {
            if(a[1] != a[2] && a[1] != a[3] && a[2] != a[3]) puts("3");
            else if(a[1] == a[3]) puts("7");
            else puts("6");
        }
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) sum = (sum + a[i] - 'a') % 3;
    for(int i = 0; i <= 2; i ++) f[1][i][i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n - 1; i ++)
        for(int j = 0; j <= 2; j ++)
            for(int k = 0; k <= 2; k ++)
                for(int p = 0; p <= 1; p ++)
                    DP(i, j, k, p);
    for(int i = 0; i <= 2; i ++) Up(ans, f[n][i][sum][1]);
    Up(ans, Check2());
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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