bzoj 4589: Hard Nim -- FWT

最新推荐文章于 2021-01-12 16:32:11 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/lkhll/p/7944609.html

本文探讨了HardNim游戏的算法实现，该问题是经典的博弈论题目。文章介绍了一种利用位运算多项式快速乘法FWT和快速幂解决该问题的方法，并提供了完整的C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

4589: Hard Nim

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB

Description

Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。

2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。

不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。

Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。

由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

Input

输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。

对于每组数据：

共一行两个正整数n和m。

每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。

不超过80组数据。

Output

Sample Input

3 7
4 13

Sample Output

6
120

HINT

Source

首先nim游戏必胜要所有数异或和为0，直接肯定是不可取的

考虑dp表示前i个数异或和为k的方案数，最后求答案为0的方案数

有一个神奇的位运算多项式快速乘法FWT，然后再加上快速幂就可以解决la

（实际上就是FWT裸题qaq

#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define N 100010
int pri[N],tot,a[N],ni;
bool vs[N];
void INIT()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vs[i]) pri[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<N;j++)
        {
            vs[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
int ksm(int a,int b)
{
    int sum=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) sum=(ll)sum*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;b>>=1;
    }
    return sum;
}
void FWT(int *x,int n)
{
    int i,j,k,X,Y;
    for(i=1;i<n;i<<=1)
        for(j=0;j<n;j+=i<<1)
            for(k=0;k<i;k++)
            {
                X=x[k+j];Y=x[k+j+i];
                x[k+j]=(X+Y)%mod;
                x[k+j+i]=(X-Y+mod)%mod;
            }
}
void UFWT(int *x,int n)
{
    int i,j,k,X,Y;
    for(i=1;i<n;i<<=1)
        for(j=0;j<n;j+=i<<1)
            for(k=0;k<i;k++)
            {
                X=x[k+j];Y=x[k+j+i];
                x[k+j]=(ll)(X+Y)*ni%mod;
                x[k+j+i]=(ll)(X-Y+mod)*ni%mod;
            }
}
int n,m;
int main()
{
    INIT();
    int tt;
    ni=ksm(2,mod-2);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=tot&&pri[i]<=m;i++) a[pri[i]]=1;
        tt=m;for(m=1;m<=tt;m<<=1);
        FWT(a,m);
        for(int i=0;i<m;i++) a[i]=ksm(a[i],n);
        UFWT(a,m);
        printf("%d\n",a[0]);
    }
    return 0;
}