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最新推荐文章于 2021-09-30 13:20:15 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/4738710.html

本文探讨了构建长度为2n的序列，序列由1至n的数组成，每个数使用两次，且序列需先递增后递减。文章详细解释了不考虑约束条件时的构建方法，并通过实例分析如何处理k个约束条件，最终计算满足约束的合法序列数量。

本着只贴代码不写分析的题解是在耍流氓的原则，还是决定写点分析。

思路很清晰，参考的官方题解，一下文字仅对题解做一个简要翻译。

题意：

有1~n这n个数，每个数用两次。构成一个长为2n的序列，而且要求序列满足先递增后递减(都是非严格的递增递减)。

再给出k个约束，每个约束形如1 >= 3这种，表示序列的第一个数要不小于第三个数。

问满足约束的合法序列有多少种。

分析：

首先先不考虑这些约束条件，考虑如何构造出这种序列。

考虑两个1放置的位置，因为序列是两边小中间大，所以这两个1要么放在前面两个位置，或者后面两个位置，要么一前一后，而且只有这三种放法。

事实上，不考虑约束条件的话，n个数能得到的合法的序列的个数为3ⁿ

因此这些数是1~n从两边往中间放的。

设d(L, R)表示[L, R]这个区间还没放数，满足约束条件的序列个数，则答案为d(1, 2n)

下面考虑如何处理这些不等式：

计算d(L, R)时，比如要放在L和L+1这两个格子，那么就考虑所有和L相关的不等式，以及和L+1相关的不等式。

为了更清楚起见，画一个图看看：

绿色表示已经放好数的区间，黄色表示正要放的两个格子，红色是还未放数的区间。

那么有大小关系：绿色的数 < 黄色的数 < 红色的数，两个黄色格子的数是相等的。

比如有不等式L >= v

如果a[L] == a[v]，那么v应该等于L + 1，表示L和v两个位置放同一个数；

如果a[L] > a[v]，那么v应该在绿色的区间表示之前已经放过数了，这样放在L的数才能比放在v的数大。

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <vector>
  6 #include <map>
  7 #define MP make_pair
  8 using namespace std;
  9 
 10 typedef long long LL;
 11 
 12 const int maxn = 80;
 13 
 14 int n, k;
 15 
 16 vector<int> G[maxn], req[maxn];
 17 
 18 LL d[maxn][maxn];
 19 
 20 bool check(int L, int R, int l, int r)
 21 {
 22     for(int i = 0; i < G[l].size(); i++)
 23     {
 24         int v = G[l][i], t = req[l][i];
 25         if(t == -2)
 26         {
 27             if(v < L || v > R || v == r) return false;
 28         }
 29         else if(t == -1)
 30         {
 31             if(v < L || v > R) return false;
 32         }
 33         else if(!t)
 34         {
 35             if(v != r) return false;
 36         }
 37         else if(t == 1)
 38         {
 39             if(v >= L && v <= R && v != r) return false;
 40         }
 41         else
 42         {
 43             if(v >= L && v <= R) return false;
 44         }
 45     }
 46 
 47     for(int i = 0; i < G[r].size(); i++)
 48     {
 49         int v = G[r][i], t = req[r][i];
 50         if(t == -2)
 51         {
 52             if(v < L || v > R || v == l) return false;
 53         }
 54         else if(t == -1)
 55         {
 56             if(v < L || v > R) return false;
 57         }
 58         else if(!t)
 59         {
 60             if(v != l) return false;
 61         }
 62         else if(t == 1)
 63         {
 64             if(v >= L && v <= R && v != l) return false;
 65         }
 66         else
 67         {
 68             if(v >= L && v <= R) return false;
 69         }
 70     }
 71 
 72     return true;
 73 }
 74 
 75 LL dp(int L, int R)
 76 {
 77     LL& ans = d[L][R];
 78     if(ans >= 0) return d[L][R];
 79     if(L + 1 == R)
 80     {
 81         if(check(L, R, L, R)) return 1LL;
 82         return 0;
 83     }
 84 
 85     ans = 0;
 86 
 87     if(check(L, R, L, L + 1))
 88         ans += dp(L + 2, R);
 89     if(check(L, R, L, R))
 90         ans += dp(L + 1, R - 1);
 91     if(check(L, R, R - 1, R))
 92         ans += dp(L, R - 2);
 93 
 94     return ans;
 95 }
 96 
 97 int main()
 98 {
 99     scanf("%d%d", &n, &k);
100     char eq[10];
101     while(k--)
102     {
103         int u, v;
104         scanf("%d", &u);
105         scanf("%s", eq);
106         scanf("%d", &v);
107 
108         int t;
109         if(strcmp(eq, "<") == 0) t = -2;
110         else if(strcmp(eq, "<=") == 0) t = -1;
111         else if(strcmp(eq, "=") == 0) t = 0;
112         else if(strcmp(eq, ">=") == 0) t = 1;
113         else if(strcmp(eq, ">") == 0) t = 2;
114         else exit(1234);
115 
116         if(u == v)
117         {
118             if(abs(t) <= 1) continue;
119             else { puts("0"); exit(0); }
120         }
121 
122         req[u].push_back(t); req[v].push_back(-t);
123         G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
124     }
125 
126     memset(d, -1, sizeof(d));
127 
128     printf("%I64d\n", dp(1, n * 2));
129 
130     return 0;
131 }