斯特林数学习

最新推荐文章于 2024-08-03 14:19:48 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/planche/p/9477816.html

本文详细介绍了斯特林数的概念及其在组合数学中的应用，包括第一类斯特林数与下降阶乘幂的关系，以及第二类斯特林数在求解自然数幂问题中的作用。

摘自：

https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind#cite_note-22

https://blog.youkuaiyun.com/doyouseeman/article/details/50876786

https://blog.youkuaiyun.com/lyd_7_29/article/details/75041818

定义：（s(n,k)带符号）

符号说明：

斯特林数跟下降上升阶乘幂有关：

怎么来的？不好意思这个网上资料似乎还真没法直接构造原理证明，只能间接归纳法证明

因为，实质上维基百科上斯特林数的通项公式为：

间接证明如下：

另一方面，

下降阶乘就是排列数

所以

一个性质：

证明：

解决自然数幂和：

设：

且发现，

　　联想到求和的那个东西下降阶乘中斯特林表达式出现过，将i=k的n^k那一项提取出来：

int get_sum(int n)
{
    sum[1]=(LL)n*(n+1)/2%MOD;
    for (int i=2;i<=k;i++)
    {
        sum[i]=1;
        for (int j=0;j<i+1;j++)
            if ((LL)(n-j+1)%(i+1)==0) sum[i]=(LL)(n-j+1)/(i+1)*sum[i]%MOD;
            else sum[i]=(LL)(n-j+1)*sum[i]%MOD;
        for (int j=1;j<i;j++)
            if ((i-j)%2==0) (sum[i]-=(LL)s[i][j]*sum[j]%MOD)%=MOD;
            else (sum[i]+=(LL)s[i][j]*sum[j]%MOD)%=MOD;
    }
    return (sum[k]+MOD)%MOD;
}