简单而粗暴的方法画任意阶数Bezier曲线

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#c/c++

本文介绍在Windows环境下，使用C/C++以简单方法画任意阶数Bezier曲线。先进行窗口初始化，定义存储点的容器；处理鼠标操作，将选点坐标存入容器，同时进行坐标转换；对于3阶以内曲线展开公式求解系数，n阶曲线则实现阶乘和组合数计算。

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简单而粗暴的方法画任意阶数Bezier曲线

虽然说是任意阶数，但是嘞，算法原理是可以到任意阶数，计算机大概到100多阶就会溢出了

Bezier曲线介绍】

【本文代码】

背景

在windows的OpenGL环境中，使用鼠标在屏幕上选点，并以点为基础画出Bezier曲线

初始化
鼠标操作
3阶以内Bezier曲线
n阶Bezier曲线

初始化

创建窗口，初始化大小、显示模式、添加显示和鼠标等回调函数，设置背景颜色等。

完成之后，定义两个全局的int类型的vector 用于存储鼠标在窗口中选择的点。同时定义窗口的高度和宽度。

vector<int> x_loc = {};
vector<int> y_loc = {};
int height = 600;
int width  = 600;

定义画点函数

void drawPixel(double x, double y, int point_size)
{
    glViewport(0, 0, (GLsizei)width, (GLsizei)height);
    glEnable(GL_POINT_SMOOTH);
    glEnable(GL_BLEND);
    glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);
    glPointSize(point_size);
    glBegin(GL_POINTS);
    glVertex2d(x, y);
    glEnd();
}

其中point_size为点的大小。

鼠标操作

OpenGL中存在鼠标点击、拖动等操作的回调函数，使用十分方便，调用即可。

我们定义在鼠标左键按下抬起后为一次屏幕选点，并将所选的点的坐标压入存储存储点的坐标的容器中。

void Mouse_hit(int button, int state, int x, int y)
{
    /// state == 1 mean button up
    /// state == 0 mean button down
    /// button == 0 mean left button
    /// button == 1 mean middle button
    /// button == 2 mean right button
    /// [x, y] is the location of mouse pointer
    if (button == 0 && state == 1)
    {
        x_loc.push_back(x);
        y_loc.push_back(y);
        cout << "point location: " << x_loc[x_loc.size() - 1] << " " << y_loc[y_loc.size() - 1] << endl;
    }
if (button == 2 && state == 1){
       x_loc.clear();
      y_loc.clear();
      glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
      glutSwapBuffers(); 
      glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
      glutSwapBuffers(); 
      glutPostRedisplay();
      cout<<" Clear Screen!"<<endl;
    }
    glutSwapBuffers(); 
      glutPostRedisplay();
}

回调函数使用为
```
glutMouseFunc(Mouse_hit);
```
Mouse_hit函数中state代表当前鼠标的状态是按下还是抬起
button为按下的是左、中、右三键中的哪一个
[x, y]为当前鼠标指针的坐标。次坐标不是世界坐标系，使用时得进行转换，看后面

坐标转换

拿一张图简单说明一下。由于鼠标获取的是世界坐标系下的位置，而在屏幕上绘制点与线是使用的是当前绘图坐标系，所以要进行简单的坐标变换。

可在显示回调函数中使用如下代码重设OpenGL窗口。

    glViewport(0, 0, (GLsizei)width, (GLsizei)height);
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    gluOrtho2D(0, width, height, 0);

好了，设置一下前景色和点的大小形状等，来看看画点的效果。

3阶以内的Bezier曲线

对于3阶以内的Bezier曲线，直接将Bezier曲线的定义公式展开，求解系数即可。

void drawBezier_1(vector<int> x, vector<int> y, int num_of_points)
{
    float ax, bx;
    float ay, by;
    int temp_loc = x.size() - 2;

    glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);
    drawPixel(x[temp_loc + 0], y[temp_loc + 0], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 1], y[temp_loc + 1], 7);
    ax = x[temp_loc + 0];
    ay = y[temp_loc + 0];
    bx = x[temp_loc + 1];
    by = y[temp_loc + 1];

    float t;
    t = 0.0;
    float dt = 0.002;
    while (t <= 1)
    {
        float x_temp = (1 - t) * ax + t * bx;
        float y_temp = (1 - t) * ay + t * by;
        drawPixel(x_temp, y_temp, 1);
        t += dt;
    }
}

void drawBezier_2(vector<int> x, vector<int> y, int num_of_points)
{
    float ax, bx;
    float ay, by;
    float tSquared;
    int temp_loc = x.size() - 3;

    ax = x[temp_loc + 0] - 2 * x[temp_loc + 1] + x[temp_loc + 2];
    ay = y[temp_loc + 0] - 2 * y[temp_loc + 1] + y[temp_loc + 2];
    bx = x[temp_loc + 0] * (-2) + x[temp_loc + 1] * 2;
    by = y[temp_loc + 0] * (-2) + y[temp_loc + 1] * 2;

    glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);
    drawPixel(x[temp_loc + 0], y[temp_loc + 0], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 1], y[temp_loc + 1], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 2], y[temp_loc + 2], 7);

    float t;
    t = 0.0;
    float dt = 0.002;
    while (t <= 1)
    {
        tSquared = t * t;
        float x_temp = ax * tSquared + bx * t + x[temp_loc + 0];
        float y_temp = ay * tSquared + by * t + y[temp_loc + 0];
        drawPixel(x_temp, y_temp, 1);
        t += dt;
    }
}

void drawBezier_3(vector<int> x, vector<int> y, int num_of_points)
{
    float ax, bx, cx;
    float ay, by, cy;
    float tSquared, tCubed;
    int temp_loc = x.size() - 4;

    cx = 3.0 * (x[temp_loc + 1] - x[temp_loc + 0]);
    bx = 3.0 * (x[temp_loc + 2] - x[temp_loc + 1]) - cx;
    ax = x[temp_loc + 3] - x[temp_loc + 0] - cx - bx;

    cy = 3.0 * (y[temp_loc + 1] - y[temp_loc + 0]);
    by = 3.0 * (y[temp_loc + 2] - y[temp_loc + 1]) - cy;
    ay = y[temp_loc + 3] - y[temp_loc + 0] - cy - by;

    glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);
    drawPixel(x[temp_loc + 0], y[temp_loc + 0], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 1], y[temp_loc + 1], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 2], y[temp_loc + 2], 7);
    drawPixel(x[temp_loc + 3], y[temp_loc + 3], 7);

    float t;
    t = 0.0;
    float dt = 0.002;
    while (t <= 1)
    {
        tSquared = t * t;
        tCubed = tSquared * t;
        float x_temp = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + x[temp_loc + 0];
        float y_temp = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + y[temp_loc + 0];
        drawPixel(x_temp, y_temp, 1);
        t += dt;
    }
}

对应阶数的函数都可实现，每过阶数+1个点画一次曲线。

n阶Bezier曲线

由Bezier的定义公式我们可以发现，画Bezier曲线需要求组合数 ，求组合数需要求阶乘，然后还需要求幂。因为c++中有求幂的函数,所以实现阶乘和组合数即可。

阶乘

double fac(int n)  
{
  double result = 1;
  if (n == 0)
      return result;
  for (int i = 1; i <= n; i++){
      result *= i;
  }
  return result;
}

为了扩大计算范围，使用了double类型

组合数

double combinate(int n, int k) 
{
  if (k == 0)
      return 1;
  double result = 0;
  result = fac(n) / (fac(k)*(fac(n - k)));
  return result;
}

为了扩大计算范围，也使用了double类型，其中k <= n

n阶Bezier曲线

void drawBezier(vector<int> x, vector<int> y, int num_of_points) {

  float px = 0.0, py = 0.0; //point current should draw
  int n;        //number of points -1
  float t = 0.0, dt = 0.0005; //t in [0, 1], dt is changes each time in t
  n = x.size() - 1;
  while (t <= 1) {
      for (int i = 0; i <= n; i++) {
          double temp = combinate(n, i)*powf(t, i)*powf(1 - t, n - i);
          px += temp * x[i];
          py += temp * y[i];
      }
      drawPixel(px, py, 1);
      t += dt;
      px = 0.0;
      py = 0.0;
  }
}