抖动序列 DP

最新推荐文章于 2025-08-21 10:38:03 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/qksy/p/8330247.html

本文介绍了一种使用动态规划算法解决高低交替排列计数问题的方法。通过定义状态 f[i][j] 和 g[i][j] 来分别表示最后一个元素为 j 的递增和递减序列的数量，并利用对称性来简化计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

 f[1][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
{
    f[i][j]=f[i-1][i-j]+f[i][j-1];
}
ans=f[n][n]*2;

f[i][j] i:第i位

j:第i位是1-j情况的和

将先上升序列的任何一位x变成n-x+1，变成先下降序列。

先上升序列i位1~j，取反变成先下降序列i-j+1~i,对应先上升序列1~i-j+1；

先上升序列i-1位，对应先上升序列1~i-j+1-1->1~i-j

http://blog.youkuaiyun.com/AaronGZK/article/details/44871391

将题目简化为1-n的所有排列中满足高低交替出现的个数，可以用动态规划实现。

我们用f[n][k]表示n个数，最后一个为k且最后两个递增，g[n][k]表示n个数最后一个数为k且最后两个递减。对于f[n][k]，若我们将数列中每个数x换为n+1-x，则就成了g[n][n+1-k]。

所以可得f[n][k]=g[n][n+1-k]。

那么可得：

所以动态转移方程为f[n][k]=f[n][k-1]+f[n-1][n-k+1]

由于对称性，最终的答案为2ans。

 if (n==1)  
    {  
        cout<<1<<endl;  
        return 0;  
    }  
    memset(f,0,sizeof(f));  
    f[0][1]=1;  
    for (i=2; i<=n; i++)  
    {  
        for (j=1; j<=i; j++) f[y][j]=(f[y][j-1]+f[x][i-j+1])%p;  
        swap(x,y);  
    }  
    for (i=1; i<=n; i++) ans=(ans+f[x][i])%p;  
    ans=(ans*2)%p;

转载于:https://www.cnblogs.com/qksy/p/8330247.html