【洛谷P4707】—重返现世（推广Kth Min-Max容斥+dp）

传送门

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考虑$kthmin-max$容斥
ans=∑T⊆UE(kth(T))=∑T⊆U(−1)∣T∣−k(n−1k−1)E(min(T))ans=\sum_{T\subseteq U}E(kth(T))=\sum_{T\subseteq U}(-1)^{|T|-k}{n-1\choose k-1}E(min(T))ans=∑T⊆U​E(kth(T))=∑T⊆U​(−1)∣T∣−k(k−1n−1​)E(min(T))

$n$太大，无法枚举，考虑$dp$
有一个显然的是每个集合的期望只和集合所有元素总概率有关
而概率这里可以表示成一个很小的整数

因此考虑$f[i][j]$表示前$i$个元素，概率之和为$j$的方案数
那么有$-f[i-1][j-p[i]]->f[i][j],f[i-1][j]->f[i][j]$
但是发现转移时无法处理$C$系数的变化

考虑组合数递推公式(ij)=(i−1j−1)+(i−1j){i\choose j}={i-1\choose j-1}+{i-1\choose j}(ji​)=(j−1i−1​)+(ji−1​)
发现$i$和$i-1$就对于了$dp$状态里的$i$
则再加一维$k$表示当前组合数的系数为(ik){i\choose k}(ki​)时的方案数

那显然就有
$f[i-1][j-p[i]][k-1]->f[i][j][k],-f[i-1][j-p[i]][k]->f[i][j][k]$
这里$k-1$的贡献是正的的原因是$k$变小了后就少乘了个$-1$

至于边界不知要为什么那些题解要赋成-1
$f[i][0][0]$按照系数意义就是$1$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
const int mod=998244353,g=3;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline void Add(int &a,int b){a=add(a,b);}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a=dec(a,b);}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)?(res=mul(res,a)):0;return res;}
const int N=1005,M=10005;
int n,m,K,p[N],cur=1;
int f[2][M][12],ans;
int main(){
    n=read(),K=n-read()+1,m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=read();
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++,cur^=1){	
        f[cur][0][0]=1;
        for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int k=0;k<=K;k++){
            f[cur][j][k]=f[cur^1][j][k];
            if(j>=p[i]&&k){
                Add(f[cur][j][k],dec(f[cur^1][j-p[i]][k-1],f[cur^1][j-p[i]][k]));
            }
        }
    }
    for(int j=0;j<=m;j++)
        Add(ans,mul(mul(f[cur^1][j][K],m),ksm(j,mod-2)));
    cout<<ans;
}

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