POJ 3150 Cellular Automaton（矩阵乘法+二分）

矩阵快速幂解决环形数组转换问题

最新推荐文章于 2020-04-23 23:36:35 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/luyingfeng/p/3873951.html

题目链接

题意：给出n个数形成环形，一次转化就是将每一个数前后的d个数字的和对m取余，然后作为这个数，问进行k次转化后，数组变成什么。

思路：下述来自here

首先来看一下Sample里的第一组数据。
1 2 2 1 2
经过一次变换之后就成了
5 5 5 5 4
它的原理就是
a0 a1 a2 a3 a4
->
(a4+a0+a1) (a0+a1+a2) (a1+a2+a3) (a2+a3+a4) (a3+a4+a0)

如果用矩阵相乘来描述，那就可以表述为1xN和NxN的矩阵相乘，结果仍为1xN矩阵
a = 1 2 2 1 2
b =
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1
a * b = 5 5 5 5 4
所以最终结果就是：a * (b^k)

线性代数不合格的同鞋表示压力很大。。

对一个NxN矩阵求k次方，而且这个k很大，N也不小，怎么办？
所以有高手观察到了，这个矩阵长得有点特殊，可以找到一些规律：
b^1 =
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
b^2 =
[3, 2, 1, 1, 2]
[2, 3, 2, 1, 1]
[1, 2, 3, 2, 1]
[1, 1, 2, 3, 2]
[2, 1, 1, 2, 3]
b^3 =
[7, 6, 4, 4, 6]
[6, 7, 6, 4, 4]
[4, 6, 7, 6, 4]
[4, 4, 6, 7, 6]
[6, 4, 4, 6, 7]
b^4 =
[19, 17, 14, 14, 17]
[17, 19, 17, 14, 14]
[14, 17, 19, 17, 14]
[14, 14, 17, 19, 17]
[17, 14, 14, 17, 19]

发现神马没有。就是无论是b的几次幂，都符合A[i][j] = A[i-1][j-1]
高手说是这样推倒出来地：
““”
利用矩阵A，B具有a[i][j]=A[i-1][j-1],B[i][j]=B[i-1][j-1]（i-1<0则表示i-1+n,j-1<0则表示j-1+n）
我们可以得出矩阵C=a*b也具有这个性质
C[i][j]=sum(A[i][t]*B[t][j])=sum(A[i-1][t-1],B[t-1][j-1])=sum(A[i-1][t],B[t][j-1])=C[i-1][j-1]
“”“

这样就可以开一个N大小的数组来存放每次计算的结果了。而没必要用NxN。
N的问题解决了，但是k还是很大，怎么办？

这时候可以用二分法来求b^k
b^k = b^1 * b^4 * b^16 。。。

 1 //3150
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <iostream>
 5 #define LL long long
 6 
 7 using namespace std ;
 8 
 9 int n,m , d , k ;
10 LL a[1010] ,b[1010] ;
11 void multi(LL *c,LL *d)
12 {
13     LL x[1010] ;
14     for(int i = 0 ; i < n ; i++)
15     {
16         x[i] = 0 ;
17         for(int j = 0 ; j < n ; j++)
18             x[i] += c[j] * d[i >= j ? (i - j) : (n + i - j)] ;//防止是负数，形成环
19     }
20     for(int i = 0 ; i < n ; i++)
21         d[i] = x[i] % m ;
22 }
23 int main()
24 {
25   while(cin >> n >> m >> d >> k ){
26     for(int i = 0 ; i < n  ; i++)
27         cin >> a[i] ;
28     b[0] = 1 ;
29     for(int i = 1 ; i <= d ; i++)
30         b[i] = b[n - i] = 1 ;
31     while(k)
32     {
33         if(k & 1)//奇数
34             multi(b,a) ;
35         multi(b,b) ;
36         k >>= 1 ;
37     }
38     for(int i = 0 ; i < n ; i++)
39         if(i == n-1) printf("%I64d\n",a[i]) ;
40         else printf("%I64d ",a[i]) ;
41   }
42     return 0 ;
43 }

View Code

计算过程中，必定会出现数字大于M的情况。
切记 x*y = (x%M)*(y%M)

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