本文详细介绍了B+树的定义、特点及其插入与删除操作的过程。并提供了完整的Java代码实现，帮助读者深入理解B+树的工作原理。
一、B+树定义
B+树定义：关键字个数比孩子结点个数小1的树。
除此之外B+树还有以下的要求：
B+树包含2种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。
B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。
m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字（或者说内部结点最多有m个子树），阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。
内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
二、B+树的插入操作
1）若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。
2）针对叶子类型结点：根据key值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第3步。
3）针对索引类型结点：若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个key，右结点包含m-(m-1)/2个key，将第m/2个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步。
下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。
a）空树中插入5
b）依次插入8，10，15
c）插入16
插入16后超过了关键字的个数限制，所以要进行分裂。在叶子结点分裂时，分裂出来的左结点2个记录，右边3个记录，中间key成为索引结点中的key，分裂后当前结点指向了父结点（根结点）。结果如下图所示。
当然我们还有另一种分裂方式，给左结点3个记录，右结点2个记录，此时索引结点中的key就变为15。
d）插入17
e）插入18，插入后如下图所示
当前结点的关键字个数大于5，进行分裂。分裂成两个结点，左结点2个记录，右结点3个记录，关键字16进位到父结点（索引类型）中，将当前结点的指针指向父结点。
当前结点的关键字个数满足条件，插入结束
f）插入若干数据后
g）在上图中插入7，结果如下图所示
当前结点的关键字个数超过4，需要分裂。左结点2个记录，右结点3个记录。分裂后关键字7进入到父结点中，将当前结点的指针指向父结点，结果如下图所示。
当前结点的关键字个数超过4，需要继续分裂。左结点2个关键字，右结点2个关键字，关键字16进入到父结点中，将当前结点指向父结点，结果如下图所示。
当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。
三、B+树的删除操作
如果叶子结点中没有相应的key，则删除失败。否则执行下面的步骤
1）删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，删除操作结束,否则执行第2步。
2）若兄弟结点key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的key替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的key，删除结束。否则执行第3步。
3）若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的key（父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第4步（第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。
4）若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，则删除操作结束。否则执行第5步
5）若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步
6）当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。
注意，通过B+树的删除操作后，索引结点中存在的key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。
下面是一颗5阶B树的删除过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。
a）初始状态
b）删除22,删除后结果如下图
删除后叶子结点中key的个数大于等于2，删除结束
c）删除15，删除后的结果如下图所示
删除后当前结点只有一个key,不满足条件，而兄弟结点有三个key，可以从兄弟结点借一个关键字为9的记录,同时更新将父结点中的关键字由10也变为9，删除结束。
d）删除7，删除后的结果如下图所示
当前结点关键字个数小于2，（左）兄弟结点中的也没有富余的关键字（当前结点还有个右兄弟，不过选择任意一个进行分析就可以了，这里我们选择了左边的），所以当前结点和兄弟结点合并，并删除父结点中的key，当前结点指向父结点。
此时当前结点的关键字个数小于2，兄弟结点的关键字也没有富余，所以父结点中的关键字下移，和两个孩子结点合并，结果如下图所示。
四、Java代码实现
public class BTreeNode {
public BTreeNode parent;//父节点
/*以升序方式存储.*/
public List<Integer> keys;
/*孩子*/
public List<BTreeNode> children;
public boolean leaf;//是否是子节点
/*子节点中指向下一个节点.*/
public BTreeNode next;
public BTreeNode() {
keys = new ArrayList<>();
children = new ArrayList<>();
leaf = false;
}
/*返回关键字个数*/
public int size() {
return keys.size();
}
//该节点中存储的索引是否包含该key值，包含则返回当前索引值，否则返回小于key值的索引
public SearchResult searchKey(Integer key) {
int index = Collections.binarySearch(keys, key);
if (index >= 0) {
return new SearchResult(index, true);
} else {
return new SearchResult(Math.abs(index + 1), false);
}
}
//keys集合是升序排序，这里做了排序的动作，可以直接添加，然后对集合重新排序
public void addKey(Integer key) {
SearchResult searchResult = searchKey(key);
if (!searchResult.found) {
List<Integer> list = new ArrayList<>(size() + 1);
for (int i = 0; i < searchResult.index; i++) {
list.add(keys.get(i));
}
list.add(key);
for (int i = searchResult.index; i < keys.size(); i++) {
list.add(keys.get(i));
}
keys = list;
}
}
//从集合中移除索引
public void removeKey(Integer key) {
keys.remove(key);
}
//获取子孩子
public BTreeNode childAt(int index) {
if (leaf) {
throw new UnsupportedOperationException("Leaf node doesn't have children.");
} else {
return children.get(index);
}
}
//将子孩子添加到集合末尾
public void addChild(BTreeNode node) {
children.add(node);
}
public void removeChild(int index) {
children.remove(index);
}
//某个位置上的子孩子添加
public void addChild(BTreeNode child, int index) {
List<BTreeNode> newChildren = new ArrayList<>();
int i = 0;
for (; i < index; ++i) {
newChildren.add(children.get(i));
}
newChildren.add(child);
for (; i < children.size(); ++i) {
newChildren.add(children.get(i));
}
children = newChildren;
}
}
public class SearchResult {
public int index;//索引所在集合的位置
public boolean found;//是否找到索引
public SearchResult() {
}
public SearchResult(int index, boolean found) {
this.index = index;
this.found = found;
}
}
public class Result extends SearchResult {
public BTreeNode node;//当前节点，索引值没有找到，则为要插入的节点
public int parentIndex;//当前节点在父级节点的位置
public Result(BTreeNode node, int index, int parentIndex, boolean found) {
super(index, found);
this.node = node;
this.parentIndex = parentIndex;
}
public Result(BTreeNode node, int parentIndex, SearchResult searchResult) {
super(searchResult.index, searchResult.found);
this.node = node;
this.parentIndex = parentIndex;
}
}上面的基本定义则描述了一个节点包括其索引集合，还包括其子孩子，并且在BTreeNode中封装了一些方法，供后续调用
public class BTree {
private static final int DEFAULT_T = 2;
public BTreeNode root;
/* 根据B树的定义，B树的每个非根节点的关键字数n满足(t - 1) <= n <= (2t - 1) */
private int t = DEFAULT_T;
/* 非根节点中最小的键值数 */
private int minKeySize;
/* 非根节点中最大的键值数 */
private int maxKeySize;
public BTree(int t /*传入b树的阶数*/) {
this();
this.t = t;
minKeySize = t / 2;
maxKeySize = t - 1;
}
}封装方法，找到当前索引的位置，没有找到时，则返回索引所在的节点中集合的位置，
public Result searchLeafNode(BTreeNode node, int parentIndex, Integer key) {
SearchResult searchResult = node.searchKey(key);
if (node.leaf) {//子节点
return new Result(node, parentIndex, searchResult);
} else {
if (searchResult.found) {
searchResult.index++;
}
return searchLeafNode(node.children.get(searchResult.index), searchResult.index, key);
}
}插入思路：
- 找到关键字的位置，找到该节点一定是子节点。
- 添加了关键字的节点，判断是否满了，满了则进行分裂
- 子节点分裂时，选取中间值上升为父节点中值，但不从子节点中移除，因为子节点保存关键字的值，非子节点保存仅仅是索引
public boolean insert(Integer key) {
// 找到子节点
Result result = searchLeafNode(root, 0, key);
if (result.found) {//找到该节点,不操作
return false;
}
BTreeNode node = result.node;
node.addKey(key);
//判断节点是否满了，满了则进行分割
if (isFull(node)) {
split(node.parent, result.parentIndex, node);
}
return true;
}
//进行分割
public void split(BTreeNode parentNode, int parentIndex, BTreeNode childNode) {
//将当前节点一份为二，小的部分将放入到新节点中，自身则成为右节点
int mid = childNode.size() / 2;
Integer key = null;
boolean unLeaf = childNode.children.isEmpty();
//判断是否为子节点，如果是子节点，索引会放入到右节点中，否则会放入到父节点中
if (unLeaf) {
key = childNode.keys.get(mid);
} else {
key = childNode.keys.remove(mid);
}
//分裂出左节点形成新的节点
List<Integer> keys = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < mid; i++) {
Integer k = childNode.keys.remove(0);
keys.add(k);
}
BTreeNode node = new BTreeNode();
node.parent = parentNode;
node.leaf = childNode.children.isEmpty();
node.keys.addAll(keys);
node.next = childNode;//节点下一个
//将孩子节点部分也移动到新节点中
if (!unLeaf) {
mid = childNode.children.size() / 2;
for (int i = 0; i < mid; i++) {
BTreeNode bTreeNode = childNode.children.remove(0);
bTreeNode.parent = node;
node.addChild(bTreeNode);
}
}
//父节点为空时，需要产生一个新节点
if (parentNode == null) {
root = new BTreeNode();
root.leaf = false;
parentNode = root;
childNode.parent = parentNode;
node.parent = parentNode;
parentNode.children.add(childNode);
}
int index = parentNode.addKey(key);
//前一个指针的下一个指针重新定向
BTreeNode preNode = parentNode.children.get(parentIndex);
preNode.next = node;
//将节点添加到列表中
parentNode.addChild(node, index);
if (isFull(parentNode)) {//父节点终索引是否满了，满了，则继续分裂
split(parentNode.parent, 0, parentNode);
}
}
private boolean isFull(BTreeNode node) {
return node.size() > maxKeySize;
}删除关键字思路：
- 找到该节点，如果是为找到，直接返回
- 找到该节点，出现一定是在子节点中，移除掉后，判断子节点的索引值是否大于最小数，大于则返回，否则需要进行合并。移除的当前节点如果出现在父节点中，也需要移除。会从子节点中选择一个节点进行补充
- 删除后小于最小数，则先从兄弟节点借，如果兄弟节点借不出，则进行合并
- 子节点进行合并，不需要移动子孩子
- 父节点进行合并，需要将孩子节点移动
//删除节点
public boolean delete(Integer key) {
//找到该节点
Result result = searchLeafNode(root, 0, key);
if (!result.found) {//未找到
return false;
}
//删除的节点数量大于
BTreeNode node = result.node;
node.removeKey(key);
if (node.keys.size() >= minKeySize) {
if (node.parent.keys.contains(key)) {//父节点中包含该节点
Integer min = node.keys.get(0);
node.parent.removeKey(key);
node.parent.addKey(min);
}
return true;
}
//删除节点后，不满足情况，则找兄弟节点借
BTreeNode parent = node.parent;
if (result.parentIndex != 0 && parent.children.get(result.parentIndex - 1).keys.size() > minKeySize) {//左节点有富余可以借
BTreeNode left = parent.children.get(result.parentIndex - 1);
Integer max = left.keys.remove(left.keys.size() - 1);
//替换节点
if (parent.keys.contains(key)) {
parent.removeKey(key);
parent.addKey(max);
node.addKey(max);
} else {
Integer min = node.keys.get(0);
parent.removeKey(min);
parent.addKey(max);
node.addKey(max);
}
} else if (result.parentIndex < parent.children.size() - 1 && parent.children.get(result.parentIndex - 1).keys.size() > minKeySize) {//右节点有富余可以借
BTreeNode right = parent.children.get(result.parentIndex + 1);
Integer min = right.keys.remove(0);
//替换节点
if (parent.keys.contains(key)) {
parent.removeKey(key);
parent.addKey(min);
node.addKey(min);
} else {
Integer max = node.keys.get(node.keys.size() - 1);
parent.removeKey(max);
parent.addKey(min);
node.addKey(min);
}
} else {
//兄弟节点也没有，则进行合并
node.parent.removeKey(key);
node.parent.removeKey(node.keys.get(0));
union(node, result.parentIndex);
}
return true;
}
public void union(BTreeNode node, int parentIndex) {
int ch = 0;
if (parentIndex == 0) {//当前节点是最左节点，则只能找右节点
ch = 1;
} else {//否则找左节点
ch = parentIndex - 1;
}
BTreeNode parent = node.parent;
if (parent == null) {
return;
}
BTreeNode kNode = parent.children.get(ch);
for (int i = 0; i < node.size(); i++) {
kNode.addKey(node.keys.get(i));
}
parent.removeChild(parentIndex);//移除节点
//判断上级节点
if (parent.keys.size() < minKeySize) {
union(parent);
}
}
public void union(BTreeNode node) {
if (node.parent == null) {
return;
}
Integer min = node.keys.get(0);
BTreeNode parent = node.parent;
//找到当前节点的位置
Integer index = -1;
for (int i = parent.keys.size() - 1; i >= 0; i--) {
if (min > parent.keys.get(i)) {
index = i;
break;
}
}
Integer parentValue = null;
if (index != -1) {
parentValue = parent.keys.get(index);
} else {//没有找到则表示当前节点为最左节点
parentValue = parent.keys.get(index + 1);
}
if (index != -1 && parent.children.get(index).keys.size() > minKeySize) {
//判断左节点是否富余
BTreeNode left = parent.children.get(index);
Integer max = left.keys.get(left.size() - 1);
parent.keys.add(index, max);
node.addKey(parentValue);
node.addChild(left.children.get(left.children.size() - 1), 0);
} else if ((index == -1 && parent.children.get(index + 2).keys.size() > minKeySize) || (index < parent.keys.size() - 1 && parent.children.get(index + 1).keys.size() > minKeySize)) {
//判断右节点是否富余
BTreeNode right = parent.children.get(index + 1);
Integer m = right.keys.get(0);
parent.keys.add(index, m);
node.addKey(parentValue);
node.addChild(right.children.get(0));
} else {
//合并
if (index == -1) {
//合并到右节点
BTreeNode right = parent.children.get(index + 2);
Integer pa = parent.keys.remove(index + 1);
right.addKey(pa);
for (int i = 0; i < node.keys.size(); i++) {
right.addKey(node.keys.get(i));
}
List<BTreeNode> bTreeNodes = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
bTreeNodes.add(node.children.get(i));
}
for (int i = 0; i < right.children.size(); i++) {
bTreeNodes.add(right.children.get(i));
}
right.children = bTreeNodes;
parent.children.remove(index + 1);//移除该节点
if (parent.keys.isEmpty()) {//节点为空
root = right;
return;
}
} else {
//合并到左节点
//找到父级节点下沉,并将该节点所有添加到左节点中
BTreeNode left = parent.children.get(index);
Integer max = parent.keys.remove(index.intValue());
left.addKey(max);
for (int i = 0; i < node.keys.size(); i++) {
left.addKey(node.keys.get(i));
}
for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
left.children.add(node.children.get(i));
}
parent.children.remove(index + 1);//移除该节点
if (parent.keys.isEmpty()) {//节点为空
root = left;
return;
}
}
}
//判断上级节点
if (parent.keys.size() < minKeySize) {
union(parent);
}
}打印输出：
private void outPut(BTreeNode node, int index) {
if (node.leaf) {
List<Integer> kes = node.keys;
System.out.println("叶子节点，层级：" + index + ",keys:" + kes);
} else {
List<Integer> kes = node.keys;
System.out.println("层级：" + index + ",keys:" + kes);
for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
outPut(node.children.get(i), index + 1);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
BTree tree = new BTree(5);
tree.insert(5);
tree.insert(8);
tree.insert(10);
tree.insert(15);
tree.insert(16);
tree.insert(17);
tree.insert(6);
tree.insert(9);
tree.insert(18);
tree.insert(19);
tree.insert(20);
tree.insert(21);
tree.insert(22);
tree.insert(7);
tree.outPut(tree.root, 0);
System.out.println("---------------------------------------------");
tree.delete(22);
tree.delete(15);
tree.outPut(tree.root, 0);
System.out.println("---------------------------------------------");
tree.delete(7);
tree.outPut(tree.root, 0);
System.out.println("---------------------------------------------");
}最后的结果：
层级：0,keys:[16]
层级：1,keys:[7, 10]
叶子节点，层级：2,keys:[5, 6]
叶子节点，层级：2,keys:[7, 8, 9]
叶子节点，层级：2,keys:[10, 15]
层级：1,keys:[18, 20]
叶子节点，层级：2,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：2,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：2,keys:[20, 21, 22]
---------------------------------------------
层级：0,keys:[16]
层级：1,keys:[7, 9]
叶子节点，层级：2,keys:[5, 6]
叶子节点，层级：2,keys:[7, 8]
叶子节点，层级：2,keys:[9, 10]
层级：1,keys:[18, 20]
叶子节点，层级：2,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：2,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：2,keys:[20, 21]
---------------------------------------------
层级：0,keys:[9, 16, 18, 20]
叶子节点，层级：1,keys:[5, 6, 8]
叶子节点，层级：1,keys:[9, 10]
叶子节点，层级：1,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：1,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：1,keys:[20, 21]
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