无向图的割顶和桥，无向图的双连通分量入门详解及模板 -----「转载」

最新推荐文章于 2024-03-14 10:43:12 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/hyghb/p/8776173.html

https://blog.youkuaiyun.com/stillxjy/article/details/70176689

割顶和桥：对于无向图G，如果删除某个节点u后，连通分量数目增加，则称u为图的割顶；如果删除某条边后，连通分量数目增加，则称该边为图的桥。对于连通图删除割顶或桥后都会使得图不再连通

以下我，我们利用dfs的性质来快速找出一个连通图中的所有的割顶和桥
首先我们要引入”时间戳”这个概念：

时间戳：表示在进行dfs时，每个节点被访问的先后顺序。每个节点会被标记两次，分别用pre[],和post[]表示。
例如下图的时间戳表示：（节点左上角为pre[],右上角为post[],子节点的访问顺序按照编号从小到达访问）
这里写图片描述

图中的边分类：
树边与反向边：在进行dfs时某条边u-v,若v还没有被访问，则u-v为树边，若v已经被访问过则u-v为反向边。
对于上图的DFS树，下图中实线为树边，虚线为反向边
这里写图片描述
在无向图中除了树边就是反向边，且不存在跨越两棵子树的边
所以对于根节点而言，如果有两个及以上节点则根节点为割顶，否则不是
对于其他节点：在无向连通图G的DFS树中，非根节点u是割顶当且仅当u存在一个子节点v，使得v及其所有后代都没有反向边连回u的祖先（不包括u）
以上判断条件很好想，只要随便画画草图就可以了

了解以上知识后我们找出图中所有的割顶和桥
设low[u]为u及其后代所能连回的最早的祖先的pre[]值，则当u存在一个子节点v使得low[v] >= pre[u]时u就为割顶
同理当 low[v] > pre[u]时 u-v为桥

求图中割顶和桥的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 1000; int n,m; vector<int> G[maxn]; int low[maxn],pre[maxn]; int dfs_clock; //时间戳 int iscut[maxn]; //标记是否为割顶 int dfs(int u,int fa) { int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; int child = 0; for(int i=0;i<G[u].size();i++) { int v = G[u][i]; if(!pre[v]) //没有访问的v { child++; //孩子节点的数目 int lowv = dfs(v,u); lowu = min(lowu,lowv); //用后代更新lowu if(lowv >= pre[u]) iscut[u] = 1; if(lowv > pre[u]) cout<<"桥："<<u<<"-"<<v<<endl; } else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) //用反向边更新lowu { lowu = min(lowu,pre[v]); } } if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0; //对于根节点的处理 low[u] = lowu; return lowu; } int main() { freopen("in.txt","r",stdin); while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { memset(pre,0,sizeof(pre)); memset(iscut,0,sizeof(iscut)); for(int i=0;i<=n;i++) G[i].clear(); int u,v; for(int i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); } dfs(1,-1); for(int i=1;i<=n;i++) if(iscut[i]) cout<<i<<endl; } return 0; }

点_双连通分量 BCC：
对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条“点不重复”的路径，则说图是点双连通的（即任意两条边都在一个简单环中），点双连通的极大子图称为点_双连通分量。
易知每条边属于一个连通分量，且连通分量之间最多有一个公共点，且一定是割顶

点_双连通分量代码模板：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string> #include <cmath> #include <vector> #include <stack> using namespace std; const int maxn = 1000; struct Edge //栈中边的结构 { int u,v; Edge(int uu,int vv) { u = uu; v = vv; } }; stack<Edge> s; struct edge //链式前向星建图的边结构 { int v,next; }edges[maxn]; int n,m; //节点的数目，无向边的数目 int e,head[maxn]; int pre[maxn]; //第一次访问的时间戳 int dfs_clock; //时间戳 int iscut[maxn]; //标记节点是否为割顶 int bcc_cnt; //点_双连通分量的数目 int bccno[maxn]; //节点属于的点_双连通分量的编号 vector<int> bcc[maxn]; //点_双连通分量 void addedges(int u,int v) //加边 { edges[e].v = v; edges[e].next = head[u]; head[u] = e++; edges[e].v = u; edges[e].next = head[v]; head[v] = e++; } int dfs(int u,int fa) { int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; int child = 0; for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next) { int v = edges[i].v; Edge e = (Edge){u,v}; if(!pre[v]) { s.push(e); child++; int lowv = dfs(v,u); lowu = min(lowu,lowv); //用后代更新lowu if(lowv >= pre[u]) //找到了一个子树满足割顶的条件 { iscut[u] = 1; bcc_cnt++; bcc[bcc_cnt].clear(); for(;;) //保存bcc信息 { Edge x = s.top(); s.pop(); if(bccno[x.u] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.u); bccno[x.u] = bcc_cnt;} if(bccno[x.v] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.v); bccno[x.v] = bcc_cnt;} if(x.u == u && x.v == v) break; } } } else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) //用反向边更新lowu { s.push(e); lowu = min(lowu,pre[v]); } } if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0; //对于根节点若只有一个子树则不是割顶 return lowu; } void init() { memset(pre,0,sizeof(pre)); memset(iscut,0,sizeof(iscut)); memset(head,-1,sizeof(head)); memset(bccno,0,sizeof(bccno)); e = 0; dfs_clock = 0; bcc_cnt = 0; } int main() { int u,v; freopen("in.txt","r",stdin); while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { init(); for(int i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); addedges(u,v); } dfs(1,-1); for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++) { for(int j=0;j<bcc[i].size();j++) cout<<bcc[i][j]<<" "; cout<<endl; } } return 0; }

代码讲解：在理解了上面找割顶的代码后，以上求BCC的代码就是用一个栈保存所有的访问的边，然后在找到一个割顶之后就将该割顶信息全部出栈后保存起来即可。（具体实现细节要自己手写代码验证最好，详见代码）

边_双连通分量 EBC：
对于边_双连通分量的求解简单多了，我们先找出所有的桥，并将其做上标记。然后在利用dfs遍历连通分量即可，只需在遍历时不能访问桥即可。

边_双连通分量代码模板

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 1000; struct Edge { int no,v,next; //no：边的编号 }edges[maxn]; int n,m,ebcnum; //节点数目，无向边的数目，边_双连通分量的数目 int e,head[maxn]; int pre[maxn]; //第一次访问的时间戳 int dfs_clock; //时间戳 int isbridge[maxn]; //标记边是否为桥 vector<int> ebc[maxn]; //边_双连通分量 void addedges(int num,int u,int v) //加边 { edges[e].no = num; edges[e].v = v; edges[e].next = head[u]; head[u] = e++; edges[e].no = num++; edges[e].v = u; edges[e].next = head[v]; head[v] = e++; } int dfs_findbridge(int u,int fa) //找出所有的桥 { int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next) { int v = edges[i].v; if(!pre[v]) { int lowv = dfs_findbridge(v,u); lowu = min(lowu,lowv); if(lowv > pre[u]) { isbridge[edges[i].no] = 1; //桥 } } else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) { lowu = min(lowu,pre[v]); } } return lowu; } void dfs_coutbridge(int u,int fa) //保存边_双连通分量的信息 { ebc[ebcnum].push_back(u); pre[u] = ++dfs_clock; for(int i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next) { int v = edges[i].v; if(!isbridge[edges[i].no] && !pre[v]) dfs_coutbridge(v,u); } } void init() { memset(pre,0,sizeof(pre)); memset(isbridge,0,sizeof(isbridge)); memset(head,-1,sizeof(head)); e = 0; ebcnum = 0; } int main() { int u,v; freopen("in.txt","r",stdin); while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { init(); for(int i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d",&u,&v); addedges(i,u,v); } dfs_findbridge(1,-1); memset(pre,0,sizeof(pre)); for(int i=1;i<=n;i++) { if(!pre[i]) { ebc[ebcnum].clear(); dfs_coutbridge(i,-1); ebcnum++; } } for(int i=0;i<ebcnum;i++) { for(int j=0;j<ebc[i].size();j++) cout<<ebc[i][j]<<" "; cout<<endl; } } return 0; }