BZOJ4026: dC Loves Number Theory

最新推荐文章于 2025-09-07 20:32:33 发布

weixin_30835933

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/wang9897/p/9740313.html

本文详细解析了一道复杂的数论题目，通过高效的算法优化，解决了区间内所有元素乘积的φ值计算问题。利用前缀积和主席树等数据结构，实现了快速查询和更新，确保了算法的时间效率。

题解: 由题意我们可以得到这个式子 ans=f(ai*...*aj)=f(pi^ki.....pj*kj)=(pi-1)*pi^(ki-1).....(pj-1)*pj^(kj-1) 所以ans=pi^ki....*pj*kj*((pi-1)/pi......*(pj-1)/pj) 然后前面部分我们可以通过前缀积得到后面的可以通过主席树+永久化标记维护

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MAXN=5e4+10;
const int NM=1e5+10;
const double eps=1e-8;
const int mod=1e6+777;
#define ll long long
using namespace std;
struct edge{int t,v;edge*next;}e[MAXN<<1],*h[MAXN],*o=e;
void add(int x,int y,int vul){o->t=y;o->v=vul;o->next=h[x];h[x]=o++;}
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,q,a[MAXN],rt[MAXN],cnt,last[1000005];
ll sum[MAXN];
bool flag;
ll ksm(ll x,ll y){
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;y=y>>1;
	}
	return res;
}
typedef struct node{
	int l,r;ll tag;
}node;
node d[NM*101];
void update1(int &x,int y,int l,int r,int ql,int qr,ll vul){
	//cout<<ql<<" "<<qr<<" "<<vul<<endl;
	x=++cnt;d[x]=d[y];
	if(!d[x].tag)d[x].tag=1;
	if(ql<=l&&r<=qr){d[x].tag=(1LL*d[x].tag*vul)%mod;return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid)update1(d[x].l,d[y].l,l,mid,ql,qr,vul);
	if(qr>mid)update1(d[x].r,d[y].r,mid+1,r,ql,qr,vul);
}
ll ans;
void querty(int x,int l,int r,int t){
	//cout<<l<<" "<<r<<" "<<d[x].tag<<endl;
	if(d[x].tag)ans=(1ll*ans*d[x].tag)%mod;
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(t<=mid)querty(d[x].l,l,mid,t);
	else querty(d[x].r,mid+1,r,t);
}
int main(){
	//cout<<4*ksm(5,mod-2)%mod<<endl;
	n=read();q=read();int t;
	sum[0]=1;
	inc(i,1,n){
		rt[i]=++cnt;d[rt[i]]=d[rt[i-1]];
		t=read();sum[i]=sum[i-1];
		for(int j=2;j<=sqrt(t);j++){
			if(t%j==0){
				int num=0;
				while(t%j==0)num++,t/=j;
				sum[i]=(sum[i]*ksm(j,num))%mod;
				update1(rt[i],rt[i],1,n,last[j]+1,i,1LL*(j-1)*ksm(j,mod-2)%mod);
				last[j]=i;
			}
		}
		if(t!=1){
				sum[i]=(sum[i]*t)%mod;
				update1(rt[i],rt[i],1,n,last[t]+1,i,1LL*(t-1)*ksm(t,mod-2)%mod);
				last[t]=i;
			}
	}
	ll res=0;int l,r;
	while(q--){
		l=read()^res;r=read()^res;
		ans=1;querty(rt[r],1,n,l);
		printf("%lld\n",res=1LL*sum[r]*ksm(sum[l-1],mod-2)%mod*ans%mod);
	}
	return 0;
}