HDU 5405 Sometimes Naive（动态树）

最新推荐文章于 2020-08-25 23:58:56 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Paulliant/p/10557332.html

博客围绕n个节点树的操作问题展开，有m次操作，包括修改节点点权和询问特定路径和。思路是用LCT维护子树信息，通过两个数组维护和，正难则反，用总路径答案减去无公共点路径答案，最后给出代码转载链接。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

\(n\) 个节点的树，每个点有点权，\(m\) 次操作，操作分两种，修改一个节点的点权，对于一个 \((u,v)\) ，询问 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(i,j)\) 的值，其中如果路径 \((i,j)\) 与路径 \((u,v)\) 有公共点，\(f(i,j)=w_iw_j\)（ \(w_i\) 表示节点 \(i\) 的点权），否则 \(f(i,j)=0\) 。

\(1\leq n,m \leq 10^5\)

思路

先讲一下用 \(\text{LCT}\) 维护子树信息的写法（以子树和为例）。

我们需要一个两个数组维护和，\(sum，isum\) 前者表示子树和，后者表示虚儿子的和。

\(\text{push_up}\) 函数需要这么写

void push_up(int x){sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+isum[x]+pw[x];}

在连断虚实边时，要注意 \(isum\) 的变化。

void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
        splay(x),isum[x]+=-sum[y]+sum[ch[x][1]],ch[x][1]=y,push_up(x);
    //其实这里可以不用push_up(x)，因为sum值没有变化
}

\(\text{link}\) 函数这样写，因为需要维护子树和，所以两个点直接转到根。

void link(int x,int y)
{
    make_root(x),make_root(y);
    fa[x]=y;
    isum[y]+=sum[x];
    push_up(y);
}

\(\text{cut}\) 函数同理

void cut(int x,int y)
{
    make_root(x),access(y),splay(x);
    ch[x][1]=fa[y]=0;
    push_up(x);
}

正难则反，我们用总的路径 \((i,j)\) 的答案减去没有公共点的路径 \((i,j)\) 的答案。

总的路径非常好求，就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^nw_iw_j= (\sum_{i=1}^n w_i)^2\) 。

为了求没有交点的路径，我们不妨利用 \(\text{LCT}\) 将这条路径的一个端点拎到根，那对与询问 \((u,v)\) ，答案就是这个式子：
\[ (\sum_{i=1}^n w_i)^2-\sum_{p\in \text{Path}(u,v)} \sum_{q\in \text{son}(p)\text{且}q\not\in{\text{Path}(u,v)}}sum_q^2 \]
其中 \(sum_i\) 表示子树和，我们需要用上面的方法去维护它。不难发现，实化路径 \((u,v)\) 后，上面的 \(q\) 其实就是虚儿子的 \(sum\) 平方再求和，那用类似的方法进行维护。然后再对这个东西再求一次路径和即可。最终用总的去减就是最终答案了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int P=1e9+7;
int ch[N][2],fa[N];bool rev[N];
int stk[N],tp;
int pw[N],sum[N],isum[N],Sum[N],ans[N];
int n,m;

void create(int x,int val)
{
    ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;
    pw[x]=sum[x]=val;
    isum[x]=Sum[x]=ans[x]=0;
}
bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
void reved(int x)
{
    std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    rev[x]^=1;
}
void push_up(int x)
{
    sum[x]=((ll)sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+pw[x]+isum[x])%P;
    ans[x]=((ll)ans[ch[x][0]]+ans[ch[x][1]]+Sum[x])%P;
}
void push_down(int x)
{
    if(rev[x])
    {
        if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
        if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
        rev[x]=0;
    }
}
void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
    if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
    ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
    push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x)
{
    stk[tp=1]=x;
    for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
    while(stk[tp])push_down(stk[tp]),tp--;
    while(!isroot(x))
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
        rotate(x);
    }
}
void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
    {
        splay(x);
        (isum[x]+=(-(ll)sum[y]+sum[ch[x][1]])%P)%=P;
        (Sum[x]+=(-(ll)sum[y]*sum[y]%P+(ll)sum[ch[x][1]]*sum[ch[x][1]])%P)%=P;
        ch[x][1]=y;
        push_up(x);
    }
}
void make_root(int x)
{
    access(x),splay(x),reved(x);
}
int get_root(int x)
{
    access(x),splay(x);
    while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
    splay(x);
    return x;
}
void link(int x,int y)
{
    make_root(x),make_root(y);
    fa[x]=y;
    (isum[y]+=sum[x])%=P;
    (Sum[y]+=(ll)sum[x]*sum[x]%P)%=P;
    push_up(y);
}
void lift(int x,int y)
{
    make_root(x),access(y),splay(x);
}
void update(int x,int val)
{
    lift(x,x);
    pw[x]=val;
    push_up(x);
}
int query(int x,int y)
{
    lift(x,y);
    return (((ll)sum[x]*sum[x]%P-ans[x])%P+P)%P;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        FOR(i,1,n)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            create(i,x);
        }
        FOR(i,1,n-1)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            link(u,v);
        }
        while(m--)
        {
            int op,u,v;
            scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);
            if(op==1)update(u,v);
            else if(op==2)printf("%d\n",query(u,v));
        }
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Paulliant/p/10557332.html