luoguP3372 【模板】线段树 1

最新推荐文章于 2025-09-07 20:32:33 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/sevenyuanluo/p/9998123.html

本文深入解析线段树的数据结构原理，通过实例演示如何利用线段树进行区间查询和修改操作，涵盖懒标记优化技巧，适合初学者快速掌握线段树应用。

emmm

今天gg没讲课，青青姐给我讲了线段树

（讲得太好了！我们来膜一下！%%%

（然后我就是来讲讲我听完后的感受的，大家重点在于夸青青姐tql

像我这样的蒟蒻，看到线段树的第一反应是。。。

“？？？

？？？

行吧，姐给我讲讲呗。”

（姐太强了！

（姐太巨了！

（不愧是我姐！

然后我们就来看看线段树是神马东西吧～

（上网找的线段树图片。感谢图源【虽然不知道需不需要声明，但是侵删

先来了解一下线段树

每个父节点包含着子节点的信息

而每个叶子节点包含着一个元素

我们如果要对1-5进行操作，我们可以利用线段树进行简化，只操作1-4这个父节点和5这个叶子节点

这里引用luogu题解一句话：通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成

如果我们按照从左到右，自上而下的顺序给树的每一个节点编号，第一层为1，第二层是2和3，第三层是4，5，6，7，以此类推，我们会发现，每个下标为i的父节点的左子节点下标为i * 2，右子节点下标为i * 2 + 1

了解了线段树的基本思路，我们就可以尝试建一棵树了

 1 void build(int L,int R,int now){
 2     lazy[now] = 0;//这个是待会在修改区间时用于简化的懒标记
 3     l[now] = L;
 4     r[now] = R;
 5     if(L == R){//显然，L，R相等时位于叶子节点，可以进行赋值操作
 6         scanf("%lld",&sum[now]);//当前这一层的总和（只有一个数（因为这道题求总和，不然还可以进行取最大或最小的操作
 7         return ;       
 8     }
 9     int mid = (L + R)>>1;//二分优化
10     build(L,mid,now * 2);//左右的子树都要赋值
11     build(mid + 1,R,now * 2 + 1);
12     sum[now] = sum[now * 2] + sum[now * 2 + 1];//当前这一层为左右子节点信息的总和
13 }

建完树之后要进行修改操作

 1 void modify(int L,int R,int k,int now){//L，R为进行修改的区间，k为修改的值，now为当前层数（每一次的修改，建树，搜索都是从第一层开始的，所以now总是赋为1
 2   if(l[now] == L && r[now] == R) {
 3     lazy[now] += k;//懒标记，记录该层以下需要进行的修改操作，减少操作次数，当需要使用下层的元素时再进行修改
 4     return ;
 5   }
 6   sum[now] += (long long)(R -L + 1) * k;//该层总共修改的值为以下子节点修改值的总和
 7   int mid = (l[now] + r[now])>>1;
 8   if(R <= mid) return modify(L,R,k,now * 2);//完全在左子树是时
 9   else if(L >= mid + 1) modify(L,R,k,now * 2 + 1);//在右子树
10   else {//两边都需要修改
11     modify(L,mid,k,now * 2);
12     modify(mid + 1,R,k,now * 2 + 1);
13   }
14 }

已经使用了懒标记，我们可以查询每段区间修改后的值，并看看懒标记的下移

long long query(int L,int R,int now){
    sum[now] += lazy[now] * (r[now] - l[now] + 1);//当层修改
    lazy[now * 2] += lazy[now];//懒标记下移
    lazy[now * 2 + 1] +=  lazy[now];
    lazy[now] = 0;//下移后清零
    if(l[now] == L && r[now] == R)return sum[now];
    int mid = (l[now] + r[now])>>1;
    if(R <= mid) return query(L,R,now * 2);
    else if(L >= mid + 1) return query(L,R,now * 2 + 1);
    else return query(L,mid,now * 2) + query(mid + 1,R,now * 2 + 1);
}

这样线段树的主体部分就写完了

这道题是一道板子题，所以只需要把以上的代码写出来，再写主函数就大功告成了

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n,m,a,b,c;
long long sum[4 * maxn],lazy[8 * maxn],k;//注意要开大一些
int l[4 * maxn],r[4 * maxn];
void build(int L,int R,int now){
    lazy[now] = 0;
    l[now] = L;
    r[now] = R;
    if(L == R){
        scanf("%lld",&sum[now]);
        return ;       
    }
    int mid = (L + R)>>1;
    build(L,mid,now * 2);
    build(mid + 1,R,now * 2 + 1);
    sum[now] = sum[now * 2] + sum[now * 2 + 1];
}
long long query(int L,int R,int now){
    sum[now] += lazy[now] * (r[now] - l[now] + 1);
    lazy[now * 2] += lazy[now];
    lazy[now * 2 + 1] +=  lazy[now];
    lazy[now] = 0;
    if(l[now] == L && r[now] == R)return sum[now];
    int mid = (l[now] + r[now])>>1;
    if(R <= mid) return query(L,R,now * 2);
    else if(L >= mid + 1) return query(L,R,now * 2 + 1);
    else return query(L,mid,now * 2) + query(mid + 1,R,now * 2 + 1);
}
void modify(int L,int R,int k,int now){
  if(l[now] == L && r[now] == R) {
    lazy[now] += k;
    return ;
  }
  sum[now] += (long long)(R -L + 1) * k;
  int mid = (l[now] + r[now])>>1;
  if(R <= mid) return modify(L,R,k,now * 2);
  else if(L >= mid + 1) modify(L,R,k,now * 2 + 1);
  else {
    modify(L,mid,k,now * 2);
    modify(mid + 1,R,k,now * 2 + 1);
  }
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  build(1,n,1);
  for(int i = 0;i < m;i++){
    scanf("%d",&a);
    if(a == 1){
      scanf("%d%d%lld",&b,&c,&k);
      modify(b,c,k,1);
    }
    if(a == 2){
      scanf("%d%d",&b,&c);
      printf("%lld\n",query(b,c,1));
    }
  }
  return 0;
}