AGC018E - Sightseeing Plan

本文介绍了一种计算平面上特定区域内路径数量的方法。通过巧妙地使用二维前缀和及组合数学原理,文章提出了一种高效的算法,该算法能快速计算出从三个不相交区域中各选一点构成路径的方案总数。

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题意

给出平面上三块不相交的从左上到右下排列的三块区域,求分别从这三个区域中挑一个点构成的路径方案数的和

做法

首先考虑转化求路径的方案数的式子。发现对于从原点出发,到$(x,y)$内所有点的所有可能路径数就是${x+1+y+1\choose x+1}$,于是可以枚举中间那个区域选哪个点,然后通过那个点的路径数可以通过对另外两个区域分别用二维前缀和来求。优化非常巧妙,这个计数可以转化为对于每条通过中间区域的路径乘上在中间区域的点的数量,于是让通过左边或上面进入第二块区域的路径方案乘上一个负的factor,从下面或右边出去的乘上一个正的factor(具体看代码吧),即可达到这个目的。考虑每条通过中间区域的合法路径,将它出去的factor减去进来的factor,刚好就是在这个区域中通过的点的数量。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 
 4 
 5 int fpow(int b, int i, int m) {
 6     int r = 1;
 7     for (; i; i >>= 1, b = b * 1LL * b % m)
 8         if (i & 1) r = r * 1LL * b % m;
 9     return r;
10 }
11 
12 const int N = 2e6 + 100;
13 const int M = 1e9 + 7;
14 int X[6], Y[6];
15 long long ans;
16 long long fac[N], ifac[N];
17 
18 long long num(int x, int y) {
19     //fprintf(stderr, "%d %d\n", x, y);
20     return fac[x + y] * 1LL * ifac[x] % M * ifac[y] % M;
21 }
22 
23 int numPath0(int x, int y) {
24     //fprintf(stderr, "0: %d %d\n", x, y);
25     long long ret = 0;
26     ret += num(x - X[1], y - Y[1]);
27     ret += num(x - X[0] + 1, y - Y[0] + 1);
28     ret -= num(x - X[0] + 1, y - Y[1]);
29     ret -= num(x - X[1], y - Y[0] + 1);
30     return ((ret % M) + M) % M;
31 }
32 
33 int numPath1(int x, int y) {
34     //fprintf(stderr, "1: %d %d\n", x, y);
35     long long ret = 0;
36     ret += num(X[4] - x, Y[4] - y);
37     ret += num(X[5] - x + 1, Y[5] - y + 1);
38     ret -= num(X[4] - x, Y[5] - y + 1);
39     ret -= num(X[5] - x + 1, Y[4] - y);
40     return ((ret % M) + M) % M;
41 }
42 
43 
44 int main() {
45 #ifdef lol
46     freopen("e.in", "r", stdin);
47     freopen("e.out", "w", stdout);
48 #endif
49 
50     fac[0] = 1;
51     for (int i = 1; i < N; ++i)
52         fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % M;
53     ifac[N - 1] = fpow(fac[N - 1], M - 2, M);
54     for (int i = N - 2; 0 <= i; --i)
55         ifac[i] = ifac[i + 1] * 1LL * (i + 1) % M;
56 
57     for (int i = 0; i < 6; ++i)
58         scanf("%d", X + i);
59     for (int i = 0; i < 6; ++i)
60         scanf("%d", Y + i);
61 
62     ans = 0;
63     for (int i = X[2]; i <= X[3]; ++i) {
64         (ans += 1LL * (M - (i + Y[2])) * numPath0(i, Y[2] - 1) % M * numPath1(i, Y[2]) % M) %= M;
65         (ans += 1LL * (i + Y[3] + 1) * numPath0(i, Y[3]) % M * numPath1(i, Y[3] + 1) % M) %= M;
66     }
67     for (int i = Y[2]; i <= Y[3]; ++i) {
68         (ans += 1LL * (M - (i + X[2])) * numPath0(X[2] - 1, i) % M * numPath1(X[2], i) % M) %= M;
69         (ans += 1LL * (i + X[3] + 1) * numPath0(X[3], i) % M * numPath1(X[3] + 1, i) % M) %= M;
70     }
71     printf("%lld\n", ans);
72 
73     return 0;
74 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ichn/p/7494183.html

内容概要:该研究通过在黑龙江省某示范村进行24小时实地测试,比较了燃煤炉具与自动/手动进料生物质炉具的污染物排放特征。结果显示,生物质炉具相比燃煤炉具显著降低了PM2.5、CO和SO2的排放(自动进料分别降低41.2%、54.3%、40.0%;手动进料降低35.3%、22.1%、20.0%),但NOx排放未降低甚至有所增加。研究还发现,经济性和便利性是影响生物质炉具推广的重要因素。该研究不仅提供了实际排放数据支持,还通过Python代码详细复现了排放特征比较、减排效果计算和结果可视化,进一步探讨了燃料性质、动态排放特征、碳平衡计算以及政策建议。 适合人群:从事环境科学研究的学者、政府环保部门工作人员、能源政策制定者、关注农村能源转型的社会人士。 使用场景及目标:①评估生物质炉具在农村地区的推广潜力;②为政策制定者提供科学依据,优化补贴政策;③帮助研究人员深入了解生物质炉具的排放特征和技术改进方向;④为企业研发更高效的生物质炉具提供参考。 其他说明:该研究通过大量数据分析和模拟,揭示了生物质炉具在实际应用中的优点和挑战,特别是NOx排放增加的问题。研究还提出了多项具体的技术改进方向和政策建议,如优化进料方式、提高热效率、建设本地颗粒厂等,为生物质炉具的广泛推广提供了可行路径。此外,研究还开发了一个智能政策建议生成系统,可以根据不同地区的特征定制化生成政策建议,为农村能源转型提供了有力支持。
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