组合推理

组合推理大礼包：

此项技能掌握者，需拥有看穿本质之眼。
在组合数学中，我们通常需要寻找到一些相等的关系。求解这种关系
时，相比于恐怖袭击式代数化简，举栗子(@李主席)，是一种很优雅
的姿势。其中，举栗子的关键在于，验证等式两边按照《**法》选出
了相同的组合。

请读者思考一下下面几个问题

1）证明：

 $k * \dbinom{n}{k}  = n * \dbinom{n-1}{k-1}$

推广一下结论

$\dbinom{r}{m}\dbinom{m}{k} = \dbinom{r}{k}*\dbinom{r-k}{m-k}$

 

2）化简：
$\sum\limits_{i=3}^{n} \dbinom{i}{3}$

 

3）化简：
$\sum\limits_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i}^{2}$

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answer：
1）我萌直接证推广结论吧！

现在有r个球~
等式左边：选m个球，将他们染成红色，然后再从m个球里选k个球染成
蓝色。
等式右边：先选k个球染成蓝色，然后从剩下的球中选m-k个球染成红色
然后发现！等式两边最后得到的结果都是，k个蓝色球，m-k个红色球。
两边一拍即合，happy end！

2) 求和的结果为C(n+1, 4)

我们给球编号为1,2,3,...,n+1
C(n+1, 4)的意义是从n+1个球中选4个球出来。
当4个球中最小编号为1时，有C(n,3)种取法。
当4个球中最小编号为2时，有C(n-1,3)种取法。
......然后一直这么枚举下去，得两边相等~

3)
给2n个球编号为1 ~ 2*n。
从中取出n个球，有C(2n,n)种取法。
在取出的球中，编号<=n的球恰有k个的情况，有C(n,k)*C(n,n-k)
种。注意到C(n,n-k)=C(n,k)这个exciting的事实。得证。

 

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